Найти момент инерции детали относительно этой оси

[Антон Огурцевич]

8-18. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из трёх одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось C проходит перпендикулярно плоскости детали через центр масс треугольника. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
1) Момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку С определим по формуле

J = J₁ + J₂ + J₃ , J₁ = J₂ = J₃ , J = 3∙ J₁ (1).

J₁ - момент инерции  тонкого однородного стержня.
Запишем формулу для определения момента инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку С

\[ {{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot d_{1}^{2}(2),{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}(3). \]

d₁ – радиус уписанной окружности в равносторонний треугольник.

\[ \begin{align}
  & {{d}_{1}}=\frac{S}{p}(4),p=\frac{a+b+c}{2},p=\frac{3\cdot l}{2}\,(5),S=\frac{1}{2}\cdot {{l}^{2}}\cdot \sin \frac{\pi }{3},S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {{l}^{2}}(6),{{d}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4\cdot 3\cdot l}\cdot {{l}^{2}}\cdot 2, \\
 & {{d}_{1}}=\frac{l}{2\cdot \sqrt{3}}(7).{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{2\cdot \sqrt{3}})}^{2}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{6}\,(8).J=3\cdot \frac{m\cdot {{l}^{2}}}{6}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{2}(9). \\
 & J=\frac{1\cdot {{1}^{2}}}{2}=0,5. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,5 кг∙м².