По проводнику, согнутому в виде прямоугольника

[Антон Огурцевич]

По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами a = 10 см и b = 20 см, течёт ток силой I = 40 А. Определить напряжённость H и индукцию B магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. 
Рассмотрим четыре участка, АВ, ВС, СD, DА.
Направление вектора магнитной индукции на каждом участке определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции (рис 1).

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DA}},\  \\
 & Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DA}},{{B}_{AB}}={{B}_{CD}},{{B}_{BC}}={{B}_{DA}}, \\
 & B=2\cdot {{B}_{AB}}+2\cdot {{B}_{BC}}\ (1). \\
\end{align} \]

Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.
\begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha =-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \left. cos\alpha  \right|_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}=-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot }(\cos {{\alpha }_{2}}-\cos {{\alpha }_{1}}), \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align}
Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим углы α₁, α₂, α₃ и α₄ (рис 2).
АВ = DС = 0,1 м, ВС = АD = 0,2 м.

\[ \begin{align}
  & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}},AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}, \\
 & \cos {{\alpha }_{1}}=\frac{AB}{AC},\cos {{\alpha }_{1}}=\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},\cos {{\alpha }_{3}}=\frac{BC}{AC},\cos {{\alpha }_{3}}=\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & cos{{\alpha }_{2}}=\cos (\frac{\pi }{2}+{{\alpha }_{3}})=-\sin {{\alpha }_{3}},\sin {{\alpha }_{3}}=\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},cos{{\alpha }_{2}}=-\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & \cos {{\alpha }_{4}}=\cos (\frac{\pi }{2}+{{\alpha }_{1}})=-\sin {{\alpha }_{1}},\sin {{\alpha }_{1}}=\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},cos{{\alpha }_{4}}=-\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}. \\
\end{align}
 \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ и ВС.

\[ \begin{align}
  & {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot BC}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ ,\ {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot BC}\cdot (\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}-(-\frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}),\  \\
 & {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot BC}\cdot \frac{2\cdot AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},\,{{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot BC}\cdot \frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & {{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot AB}\cdot (\cos {{\alpha }_{3}}-\cos {{\alpha }_{4}})\ ,\ {{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot AB}\cdot (\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}-(-\frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}),\  \\
 & {{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot AB}\cdot \frac{2\cdot BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},\,{{B}_{BC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot AB}\cdot \frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}, \\
 & B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot BC}\cdot \frac{AB}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}+2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot AB}\cdot \frac{BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}},B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot \sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}\cdot (\frac{AB}{BC}+\frac{BC}{AB}), \\
 & B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot \sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}\cdot (\frac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{BC\cdot AB}),B=2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi }\cdot (\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{BC\cdot AB}). \\
 & B=\frac{2\cdot 4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 40}{\pi }\cdot \frac{\sqrt{{{0,1}^{2}}+{{0,2}^{2}}}}{0,1\cdot 0,2}=3577,7\cdot {{10}^{-7}}=357,77\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Магнитная индукция В связана с напряжённостью магнитного поля в однородной среде Н отношением

B = μ∙μ₀∙H  (4),

где μ − магнитная проницаемость среды, μ₀ = 4π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. Для вакуума μ =1.
Выразим из (4) Н:

\[ H=\frac{B}{\mu \cdot {{\mu }_{0}}},H=\frac{357,77\cdot {{10}^{-6}}}{1\cdot 4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}}=284,85. \]

Ответ: В = 357,77∙10^-6 Тл, Н = 284,85 А/м.