Шарик массой

[Антон Огурцевич]

6. Шарик массой 100 г, привязанный к концу нити длиной l₁ = 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой n₁ = 1 с^-1. Нить укорачивается, и шарик приближается к оси вращения до расстояния l₂ = 0,5 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь. Сделать рисунок.

[Сергей]

   Решение. Применим закон сохранения момента импульса.
Момент импульса определяется по формуле:

L = J∙ω   (1).
J₁∙ω₁  =  J₂∙ω₂   (2).

Где: J₁ - момент инерции шарика привязанного к концу нити длиной l₁ ,
ω₁ - угловая скорость вращения шарика до укорачивания нити

\[ {{J}_{1}}=m\cdot l_{1}^{2}(3),{{\omega }_{1}}=2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}(4),{{L}_{1}}=m\cdot l_{1}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}(5).
 \]

J₂ - момент инерции шарика привязанного к концу нити длиной l₂,
ω₂ - угловая скорость вращения шарика после  укорачивания нити

\[ {{J}_{2}}=m\cdot l_{2}^{2}(6),{{\omega }_{2}}=2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}}(7),{{L}_{2}}=m\cdot l_{2}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}}(8). \]

(8  ) и (5) подставим в (2) определим, с какой частотой будет при этом вращаться шарик

\[ \begin{align}
  & m\cdot l_{1}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}=m\cdot l_{2}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}},{{n}_{2}}=\frac{m\cdot l_{1}^{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}}}{m\cdot l_{2}^{2}\cdot 2\cdot \pi },{{n}_{2}}=\frac{l_{1}^{2}\cdot {{n}_{1}}}{l_{2}^{2}}(9). \\
 & {{n}_{2}}=\frac{{{1}^{2}}\cdot 1}{{{0,5}^{2}}}=4. \\
\end{align} \]

Определим, какую работу совершит внешняя сила, укорачивая нить

\[ \begin{align}
  & A=\frac{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}-\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2},A=\frac{m\cdot l_{2}^{2}\cdot {{(2\cdot \pi \cdot {{n}_{2}})}^{2}}}{2}-\frac{m\cdot l_{1}^{2}\cdot {{(2\cdot \pi \cdot {{n}_{1}})}^{2}}}{2}, \\
 & A=\frac{m\cdot 4\cdot {{\pi }^{2}}}{2}\cdot (l_{2}^{2}\cdot n_{2}^{2}-l_{1}^{2}\cdot n_{1}^{2}),A=m\cdot 2\cdot {{\pi }^{2}}\cdot (l_{2}^{2}\cdot n_{2}^{2}-l_{1}^{2}\cdot n_{1}^{2}). \\
 & A=2\cdot {{3,14}^{2}}\cdot 1\cdot ({{0,5}^{2}}\cdot {{4}^{2}}-{{1}^{2}}\cdot {{1}^{2}})=59,15. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 4 с^-1, 59,15 Дж.