На обод маховика диаметром

[Антон Огурцевич]

73. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определить момент инерции I маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрёл угловую скорость ω = 9 рад/с. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок.
Момент сил которые действуют на обод маховика определим по формуле:

М = J∙ε   (1), М = F_Н∙R   (2).

J – момент инерции маховика, ε – угловое ускорение движения маховика, F_Н – сила натяжения нити, R – радиус барабана. 
Груз из состояния покоя движется равноускорено, запишем формулы для определения углового ускорения обода диска и линейного ускорения груза

\[ \varepsilon ={{\omega }_{0}}+\omega \cdot t,{{\omega }_{0}}=0,\varepsilon =\omega \cdot t\,(3),\varepsilon =\frac{a}{R},a=\varepsilon \cdot R,R=\frac{D}{2},a=\omega \cdot t\cdot \frac{D}{2}\ \ \ (4). \]

Используя второй закон Ньютона определим силу натяжения нити.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{H}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\  \\
 & Oy:\ -{{F}_{H}}+m\cdot g=m\cdot a,\ {{F}_{H}}=m\cdot g-m\cdot a,{{F}_{H}}=m\cdot g-m\cdot \omega \cdot t\cdot \frac{D}{2},{{F}_{H}}=m\cdot (g-\omega \cdot t\cdot \frac{D}{2})\ \ (5). \\
\end{align} \]

(5) подставим в (2), (3) подставим в (1). Сравним (1) и (2) определим момент инерции маховика

\[ \begin{align}
  & J\cdot \omega \cdot t=m\cdot (g-\omega \cdot t\cdot \frac{D}{2})\cdot \frac{D}{2},J=\frac{m\cdot (g-\omega \cdot t\cdot \frac{D}{2})\cdot \frac{D}{2}}{\omega \cdot t}(6). \\
 & J=\frac{2\cdot (10-9\cdot 3\cdot \frac{0,6}{2})\cdot \frac{0,6}{2}}{9\cdot 3}=0,042. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,042 кг∙м².