Однородный сплошной цилиндр массой

[Антон Огурцевич]

3. Однородный сплошной цилиндр массой m = 1,00 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (Рисунок). Цилиндр отпускают без толчка. а) За сколько времени цилиндр опустится на расстояние h = 50,0 см?; б) Какое натяжение F испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Используя второй закон Ньютона запишем формулу для определения силы натяжения нити. Считаем движение цилиндра равноускоренным, запишем формулу для определения времени движения сплошного цилиндра.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ 2\cdot {{{\vec{F}}}_{H}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\  \\
 & Oy:\ -2\cdot {{F}_{H}}+m\cdot g=m\cdot a,\ 2\cdot {{F}_{H}}=m\cdot g-m\cdot a(1),{{F}_{H}}=\frac{m\cdot g-m\cdot a}{2}\ \ (2). \\
 & h={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0}}=0,h=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{a}}(3). \\
\end{align} \]

Определим ускорение центра масс поступательного движения сплошного цилиндра. Момент сил которые действуют на сплошной цилиндр определим по формуле:

М = J∙ε   (4), М = 2∙F_Н∙R   (5).

J – момент инерции диска, ε – угловое ускорение движения диска, F_Н – сила натяжения нити, R – радиус цилиндра.

\[ \begin{align}
  & J\cdot \varepsilon =2\cdot {{F}_{H}}\cdot R(6),\varepsilon =\frac{a}{R}\ \ \ (7),J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}(8\,), \\
 & J\cdot \frac{a}{R}=2\cdot {{F}_{H}}\cdot R,\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2\cdot {{R}^{2}}}\cdot a=2\cdot {{F}_{H}},\frac{m\cdot a}{2}=m\cdot g-m\cdot a,\frac{3}{2}\cdot a=g,a=\frac{2\cdot g}{3}(11). \\
 & a=\frac{2\cdot 10}{3}=\frac{20}{3}.t=\sqrt{\frac{2\cdot 0,5\cdot 3}{20}}=0,387. \\
 & {{F}_{H}}=\frac{1\cdot (10-\frac{20}{3})}{2}=\frac{10}{6}=1,67. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,387 с, 1,67 Н.