Решение. Потенциал поля, созданного несколькими зарядами, равен алгебраической (с учетом знака потенциала) сумме потенциалов полей каждого поля в отдельности
\[ \begin{align}
& \varphi ={{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}(1),{{\varphi }_{1}}=\frac{k\cdot {{q}_{1}}}{{{r}_{1}}}(2),{{\varphi }_{2}}=\frac{k\cdot {{q}_{2}}}{{{r}_{2}}}(3),{{r}_{1}}=\sqrt{{{(3\cdot a)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\sqrt{10\cdot {{a}^{2}}}=a\cdot \sqrt{10}(4), \\
& {{r}_{2}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\cdot \sqrt{2}(5),\varphi =\frac{k\cdot {{q}_{1}}}{a\cdot \sqrt{10}}+\frac{k\cdot {{q}_{2}}}{a\cdot \sqrt{2}},(6). \\
& \varphi =\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 20\cdot {{10}^{-9}}}{0,1\cdot \sqrt{10}}+\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot (-20\cdot {{10}^{-9}})}{0,1\cdot \sqrt{2}}=-715. \\
\end{align}
\]
Покажем рисунок. Определим напряженность в точке 5. Если заряд положительный вектор напряженности в точке направлен от заряда, если заряд отрицательный вектор напряженности в точке направлен к заряду.
Результирующую напряженность определим используя теорему косинусов.
\[ \begin{align}
& \vec{E}={{{\vec{E}}}_{1}}+{{{\vec{E}}}_{2}},E=\sqrt{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos \alpha }(1), \\
& {{E}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{r_{1}^{2}}(2),{{E}_{2}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{r_{2}^{2}}(3),r_{1}^{2}={{(3\cdot a)}^{2}}+{{a}^{2}}=10\cdot {{a}^{2}}(4),r_{2}^{2}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2\cdot {{a}^{2}}(5), \\
& {{(2\cdot a)}^{2}}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2\cdot {{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}\cdot \cos \alpha ,\cos \alpha =\frac{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-4\cdot {{a}^{2}}}{2\cdot {{r}_{1}}\cdot {{r}_{2}}},\cos \alpha =\frac{10\cdot {{a}^{2}}+2\cdot {{a}^{2}}-4\cdot {{a}^{2}}}{2\cdot \sqrt{10\cdot {{a}^{2}}\cdot 2\cdot {{a}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}, \\
& E=\sqrt{{{(\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{10\cdot {{a}^{2}}})}^{2}}+{{(\frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{a\cdot 2})}^{2}}-2\cdot \frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{10\cdot {{a}^{2}}}\cdot \frac{k\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{a\cdot 2}\cdot \cos \alpha }(6). \\
& E=\sqrt{{{(\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 20\cdot {{10}^{-9}}}{10\cdot {{0,1}^{2}}})}^{2}}+{{(\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 20\cdot {{10}^{-9}}}{{{0,1}^{2}}\cdot 2})}^{2}}-2\cdot \frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 20\cdot {{10}^{-9}}}{10\cdot {{0,1}^{2}}}\cdot \frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot 20\cdot {{10}^{-9}}}{{{0,1}^{2}}\cdot 2}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}=12862. \\
\end{align}
\]
Ответ: φ = -715 В,
Е = 12862 В/м.
