Колебательный контур

[Антон Огурцевич]

Задача 2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и конденсатора ёмкостью С. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону u_c(t)=U_max∙cosω₀∙t. Используя данные Таблицы 2, выполните следующее:
1. Нарисуйте схему колебательного контура.
2. Найдите недостающие в таблице величины.
3. Запишите уравнение изменения u_c(t) с числовыми коэффициентами.
4. Получите уравнения изменения с течением времени заряда q(t) на обкладках конденсатора, силы тока i(t) в контуре, энергии магнитного W_м(t) и электрического W_эл(t) полей и запишите их с числовыми коэффициентами. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Используя формулу Томсона определим период колебаний, зная период определим частоту и угловую скорость

\[ \begin{align}
  & T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}(1),\nu =\frac{1}{T}(2),\omega =2\cdot \pi \cdot \nu (3). \\
 & T=2\cdot 3,14\cdot \sqrt{10\cdot {{10}^{-12}}\cdot 0,23\cdot {{10}^{-3}}}=3\cdot {{10}^{-7}}=300\cdot {{10}^{-9}}.\nu =\frac{1}{3\cdot {{10}^{-7}}}=3,33\cdot {{10}^{6}}, \\
 & \omega =2\cdot 3,14\cdot 3,33\cdot {{10}^{6}}=21\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]

Определим q_mах и I_mах

\[  \begin{align}
  & {{q}_{\max }}={{U}_{\max }}\cdot C(4),{{I}_{\max }}={{q}_{\max }}\cdot \omega (5). \\
 & {{q}_{\max }}=48\cdot {{10}^{-3}}\cdot 10\cdot {{10}^{-12}}=0,48\cdot {{10}^{-12}},{{I}_{\max }}=0,48\cdot {{10}^{-12}}\cdot 21\cdot {{10}^{6}}=10\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Определим максимальную электрическую и магнитную энергию

\[  \begin{align}
  & W_{\max }^{e}=\frac{C\cdot U_{\max }^{2}}{2}(6),\,W_{\max }^{m}=\frac{L\cdot I_{\max }^{2}}{2}(7). \\
 & W_{\max }^{e}=\frac{10\cdot {{10}^{-12}}\cdot {{(48\cdot {{10}^{-3}})}^{2}}}{2}=11520\cdot {{10}^{-18}}=11,52\cdot {{10}^{-15}}. \\
 & W_{\max }^{m}=\frac{0,23\cdot {{10}^{-3}}\cdot {{(10\cdot {{10}^{-6}})}^{2}}}{2}=11,52\cdot {{10}^{-15}}. \\
\end{align} \]

Запишем уравнения изменения с течением времени напряжения заряда на обкладках конденсатора, силы тока в контуре, энергии магнитного и электрического полей

\[ \begin{align}
  & u=48\cdot {{10}^{-3}}\cdot \cos (21\cdot {{10}^{6}}\cdot t),q=0,48\cdot {{10}^{-12}}\cdot \cos (21\cdot {{10}^{6}}\cdot t), \\
 & i=q'=-{{q}_{\max }}\cdot \omega \cdot \sin \omega \cdot t={{I}_{\max }}\cdot \sin \omega \cdot t,\,i=10\cdot {{10}^{-6}}\cdot sin(21\cdot {{10}^{6}}\cdot t), \\
 & {{W}^{e}}(t)=\frac{C\cdot {{u}^{2}}}{2},{{W}^{e}}(t)=\frac{10\cdot {{10}^{-12}}\cdot {{(48\cdot {{10}^{-3}}\cdot \cos (21\cdot {{10}^{6}}\cdot t))}^{2}}}{2}=11,52\cdot {{10}^{-15}}\cdot {{\cos }^{2}}(21\cdot {{10}^{6}}\cdot t), \\
 & {{W}^{m}}(t)=\frac{L\cdot {{i}^{2}}}{2},{{W}^{m}}(t)=\frac{0,23\cdot {{10}^{-3}}\cdot {{(10\cdot {{10}^{-6}}\cdot sin(21\cdot {{10}^{6}}\cdot t))}^{2}}}{2}=11,52\cdot {{10}^{-15}}\cdot si{{n}^{2}}(21\cdot {{10}^{6}}\cdot t). \\
\end{align} \]

Ответ: ν = 3,33 МГц, Т = 300 нс, q_mах = 0,48 пФ, I_mах = 10 мкА, W_{эл. mах} = 11,52 фДж, W_{маг. mах} = 11,52 фДж, ω = 21∙10⁶ рад/с.