Для устранения отражения света от поверхности линзы

[Антон Огурцевич]

1. Для устранения отражения света от поверхности линзы на неё наносится тонкая плёнка вещества с показателем преломления на 1,25 меньше, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине плёнки отражение света с длиной волны 0,72 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 60°? Ответ: d_min = 2∙10^-7 м = 0,2∙10^-6 м = 0,2 мкм. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем рисунок. Определим оптическую разность хода для интерференции отраженных лучей 1 и 2, n₂ = 1,25, n₁ = 1,0.

\[ \begin{align}
  & \delta ={{n}_{2}}\cdot (AO+OC)-{{n}_{1}}\cdot BC,\ BC=AC\cdot \sin \alpha ,\ AC=2\cdot AD=2\cdot d\cdot tg\beta , \\
 & BC=2\cdot d\cdot tg\beta \cdot \sin \alpha ,(AO+OC)=\frac{2\cdot d}{\cos \beta },\ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}},\ \sin \beta =\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}}\cdot \sin \alpha , \\
 & \cos \beta =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\beta },\delta =\frac{2\cdot d\cdot {{n}_{2}}}{\cos \beta }-{{n}_{1}}\cdot 2\cdot d\cdot tg\beta \cdot \sin \alpha . \\
\end{align}
 \]

\[ \begin{align}
  & \delta =\frac{2\cdot d\cdot {{n}_{2}}}{\cos \beta }-{{n}_{1}}\cdot 2\cdot d\cdot tg\beta \cdot \sin \alpha =2\cdot d\cdot (\frac{{{n}_{2}}-{{n}_{1}}\cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta }\cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta }{\cos \beta })= \\
 & =2\cdot d\cdot (\frac{{{n}_{2}}-{{n}_{1}}\cdot \sin \beta \cdot \sin \alpha }{\cos \beta })=2\cdot d\cdot (\frac{{{n}_{2}}-{{n}_{1}}\cdot \frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{\sqrt{1-\frac{n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }})=2\cdot d\cdot (\frac{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }{\sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }}). \\
 & \delta =2\cdot d\cdot \sqrt{{{n}_{2}}^{2}-n_{1}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }\ \ \ (1). \\
\end{align} \]

Отражённый от неё свет максимально ослаблен вследствие интерференции. Запишем условие минимума:

\[ \delta =(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2}\ \ \ (2). \]

Подставим (2) в (1) выразим толщину пленки:\[ (2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2}=2\cdot d\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }\ ,\ d=\frac{(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2}}{2\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }}\ \ \ \ (3). \]минимальная толщина пленки будет при условии k = 0.

\[ d=\frac{(2\cdot 0+1)\cdot \frac{\lambda }{2}}{2\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }}=\frac{\lambda }{4\cdot \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha }}\ \ \ \ (4).d=\frac{0,72\cdot {{10}^{-6}}}{4\cdot \sqrt{{{1,25}^{2}}-{{1}^{2}}\cdot {{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}}=0,2\cdot {{10}^{-6}}. \]

d = 0,2∙10^-6 м.