Два источника ЭДС

[Антон Огурцевич]

Задача 1.49. В цепи (рис. 1.27) Е₁ = 100 В, E₂ = 35 В, а сопротивление R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 40 Ом, R₅ = 30 Ом. Определить, при каком значении сопротивления R₆ ток в ветви с источником ЭДС E₂ будет равен нулю. Найти все токи. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Покажем схему соединения, укажем предполагаемые направления токов в сопротивлениях (рис).
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура, причем электродвижущие силы берем со знаком плюс, если они повышают потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу), и со знаком минус если понижают. Падение напряжения считаем положительным, если направление токов, проходящих через сопротивление, совпадает с направлением обхода, и со знаком минус, если понижают.
 Для силы токов справедливы условия:

\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}+{{I}_{5}}(1),{{I}_{6}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}-{{I}_{2}}(2),{{I}_{6}}={{I}_{1}}-{{I}_{2}}(3), \\
 & {{I}_{2}}=0,{{I}_{6}}={{I}_{1}}, \\
 & {{I}_{1}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}+{{I}_{5}}(4),{{I}_{1}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}(5). \\
\end{align} \]

Запишем уравнения согласно второго правила Кирхгофа:

\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{5}}\cdot {{R}_{5}}(6),{{E}_{1}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{4}}\cdot {{R}_{4}}+{{I}_{1}}\cdot {{R}_{6}}(7), \\
 & {{E}_{1}}-{{E}_{2}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}+{{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}},{{E}_{1}}-{{E}_{2}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}(8\,), \\
 & {{I}_{4}}\cdot {{R}_{4}}-{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}=0,{{I}_{4}}\cdot 40-{{I}_{3}}\cdot 40=0,{{I}_{4}}={{I}_{3}}\,(9). \\
\end{align}
 \]

Решим полученные уравнения, определим сопротивление R₆ и силы токов в каждом резисторе

\[ \begin{align}
  & (9)\to (5){{I}_{1}}=2\cdot {{I}_{3}}(10), \\
 & (10)\to (4)2\cdot {{I}_{3}}=2\cdot {{I}_{3}}+{{I}_{5}},{{I}_{5}}=0(11), \\
 & (11)\to (6){{E}_{1}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}},{{I}_{1}}=\frac{{{E}_{1}}}{{{R}_{1}}},{{I}_{1}}=\frac{100}{40}=2,5. \\
 & (8)\,100-35=2,5\cdot 40+{{I}_{3}}\cdot 40,{{I}_{3}}=\frac{100-35-100}{40}=-0,875. \\
 & (7)100=2,5\cdot 40-0,875\cdot 40+2,5\cdot {{R}_{6}},{{R}_{6}}=\frac{0,875\cdot 40}{2,5}=14. \\
\end{align} \]

Токи в сопротивлениях R₃ и R₄ текут в противоположных направлениях, указанных на рисунке.
Ответ: R₆ = 14 Ом, I₁ = 2,5 А, I₂ = 0, I₃ = 0,875 А, I₄ = 0,875 А, I₅ = 0, I₆ = 2,5 А.