Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно

[Антон Огурцевич]

86. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 35 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I₁ = 0,628 A, I₂ = 3,14 A. Найти напряжённость магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от первого проводника. Сделать чертёж. Указать направление векторов. Как изменится значение напряжённости магнитного поля в этой точке, если токи будут течь в противоположных направлениях? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок. Направление вектора напряженности определим по правилу буравчика.
Результирующий вектор напряженности определим по правилу суперпозиции. Напряженность, создаваемая проводником с током на расстоянии R от проводника определим по формуле:

\[ \vec{H}={{\vec{H}}_{1}}+{{\vec{H}}_{2}}(1).H=\frac{I}{2\cdot \pi \cdot R}(1)..\ {{H}_{1}}=\frac{{{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}\ \ \ (2),\ {{H}_{2}}=\frac{{{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{2}}}\ \ \ (3). \]

1) Определим напряженность поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющих оба провода, если точка лежит на расстоянии r₁ = 10 см правее (1) первого провода и на расстоянии r₁ = 10 см левее (2) первого провода

\[ \begin{align}
  & 1.H={{H}_{1}}\ +{{H}_{2}}(1),H=\frac{{{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}+\frac{{{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (L+{{r}_{1}})}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{{{I}_{1}}}{{{r}_{1}}}+\frac{{{I}_{2}}}{(L+{{r}_{1}})}). \\
 & H=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{0,628}{0,1}+\frac{3,14}{0,35+0,1})=2,1. \\
 & 2.H={{H}_{2}}\ -{{H}_{1}}(1),H=\frac{{{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (L-{{r}_{1}})}-\frac{{{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{{{I}_{2}}}{(L-{{r}_{1}})}-\frac{{{I}_{1}}}{{{r}_{1}}}). \\
 & H=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{3,14}{0,35-0,1}-\frac{0,628}{0,1})=1. \\
\end{align} \]

Определим напряженность поля, создаваемого токами в точке, лежащей на прямой, перпендикулярной прямой соединяющих оба провода

\[ \begin{align}
  & H=\sqrt{H_{1}^{2}\ +H_{2}^{2}+2\cdot {{H}_{1}}\cdot {{H}_{2}}\cdot \cos \alpha }.\,{{H}_{1}}=\frac{{{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}},{{H}_{2}}=\frac{{{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{{{L}^{2}}+r_{1}^{2}}}. \\
 & \cos \alpha =\frac{{{r}_{1}}}{\sqrt{{{L}^{2}}+r_{1}^{2}}}. \\
 & {{H}_{1}}=\frac{0,628}{2\cdot 3,14\cdot 0,1}=1,{{H}_{2}}=\frac{3,14}{2\cdot 3,14\cdot \sqrt{{{0,35}^{2}}-{{0,1}^{2}}}}=1,5. \\
 & \cos \alpha =\frac{0,1}{\sqrt{{{0,35}^{2}}-{{0,1}^{2}}}}=0,298. \\
 & H=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1,5}^{2}}+2\cdot 1\cdot 1,5\cdot 0,298}=2. \\
\end{align} \]

Ответ: 2,1 А/м, 1 А/м, 2 А/м.
Определим, как изменится значение напряжённости магнитного поля в этих точках, если токи будут течь в противоположных направлениях

\[ \begin{align}
  & 1.H={{H}_{2}}\ -{{H}_{1}}(1),H=\frac{{{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (L+{{r}_{1}})}-\frac{{{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{{{I}_{2}}}{(L+{{r}_{1}})}-\frac{{{I}_{1}}}{{{r}_{1}}}). \\
 & H=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{3,14}{0,35+0,1}-\frac{0,628}{0,1})=0,1. \\
 & 2.H={{H}_{1}}\ +{{H}_{2}}(1),H=\frac{{{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}+\frac{{{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (L-{{r}_{1}})}=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{{{I}_{1}}}{{{r}_{1}}}+\frac{{{I}_{2}}}{(L-{{r}_{1}})}). \\
 & H=\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{0,628}{0,1}+\frac{3,14}{0,35-0,1})=3. \\
\end{align} \]

Определим напряженность поля, создаваемого токами в точке, лежащей на прямой, перпендикулярной прямой соединяющих оба провода

\[ \begin{align}
  & H=\sqrt{H_{1}^{2}\ +H_{2}^{2}+2\cdot {{H}_{1}}\cdot {{H}_{2}}\cdot \cos (180-\alpha )}.H=\sqrt{H_{1}^{2}\ +H_{2}^{2}-2\cdot {{H}_{1}}\cdot {{H}_{2}}\cdot \cos \alpha }. \\
 & {{H}_{1}}=\frac{{{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}},{{H}_{2}}=\frac{{{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{{{L}^{2}}+r_{1}^{2}}}. \\
 & \cos \alpha =\frac{{{r}_{1}}}{\sqrt{{{L}^{2}}+r_{1}^{2}}}. \\
 & {{H}_{1}}=\frac{0,628}{2\cdot 3,14\cdot 0,1}=1,{{H}_{2}}=\frac{3,14}{2\cdot 3,14\cdot \sqrt{{{0,35}^{2}}-{{0,1}^{2}}}}=1,5. \\
 & \cos \alpha =\frac{0,1}{\sqrt{{{0,35}^{2}}-{{0,1}^{2}}}}=0,298. \\
 & H=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1,5}^{2}}-2\cdot 1\cdot 1,5\cdot 0,298}=1,53. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,1 А/м, 3 А/м, 1,53 А/м.