Четыре конденсатора образуют цепь

[Антон Огурцевич]

Задание 9. Четыре конденсатора образуют цепь, показанную на рисунке. Разность потенциалов на концах цепи равна 6 В, ёмкости конденсаторов С₁, С₂, С₃, и С₄ равны, соответственно, 1, 2, 3 и 4 мкФ. Определить: 1) общую ёмкость цепи; 2) разность потенциалов на каждом конденсаторе; 3) заряд на каждом конденсаторе; 4) энергию электрического поля каждого конденсатора и общую энергию системы. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Рис. а.) Определим: 1) общую ёмкость цепи;
С₂ и С₄ соединены параллельно

С₂₄ = С₂ + С₄. С₂₄ = 2∙10^-6 + 4∙10^-6 = 6∙10^-6.

С₁, С₂₄ и С₃ соединены последовательно, общая ёмкость цепи равна

\[ \begin{align}
  & \frac{1}{C}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{24}}}+\frac{1}{{{C}_{3}}}.C=\frac{{{C}_{1}}\cdot {{C}_{24}}\cdot {{C}_{3}}}{{{C}_{24}}\cdot {{C}_{3}}+{{C}_{1}}\cdot {{C}_{3}}+{{C}_{1}}\cdot {{C}_{24}}}. \\
 & C=\frac{1\cdot {{10}^{-6}}\cdot 6\cdot {{10}^{-6}}\cdot 3\cdot {{10}^{-6}}}{6\cdot {{10}^{-6}}\cdot 3\cdot {{10}^{-6}}+1\cdot {{10}^{-6}}\cdot 3\cdot {{10}^{-6}}+1\cdot {{10}^{-6}}\cdot 6\cdot {{10}^{-6}}}=0,67\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,67∙10^-6 Ф. 
2) разность потенциалов на каждом конденсаторе;

\[ \begin{align}
  & q={{q}_{1}}={{q}_{24}}={{q}_{3}}.q=U\cdot C.q=6\cdot 0,67\cdot {{10}^{-6}}=4\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{U}_{1}}=\frac{{{q}_{1}}}{{{C}_{1}}}.{{U}_{1}}=\frac{4\cdot {{10}^{-6}}}{1\cdot {{10}^{-6}}}=4\cdot {{U}_{3}}=\frac{{{q}_{3}}}{{{C}_{3}}}.{{U}_{3}}=\frac{4\cdot {{10}^{-6}}}{3\cdot {{10}^{-6}}}=1,33\cdot  \\
 & {{U}_{24}}=U-({{U}_{1}}+{{U}_{3}}).{{U}_{24}}=6-(4+1,33)=0,67. \\
 & {{U}_{2}}={{U}_{4}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 4 В, 1,33 В, 0,67 В, 0,67 В.
3) заряд на каждом конденсаторе;

\[ \begin{align}
  & q={{q}_{1}}={{q}_{24}}={{q}_{3}}.q=U\cdot C.q=6\cdot 0,67\cdot {{10}^{-6}}=4\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{U}_{24}}=U-({{U}_{1}}+{{U}_{3}}).{{U}_{24}}=6-(4+1,33)=0,67.{{U}_{2}}={{U}_{4}}. \\
 & {{q}_{24}}={{q}_{2}}+{{q}_{4}}. \\
 & {{q}_{2}}={{U}_{2}}\cdot {{C}_{2}}.{{q}_{2}}=0,67\cdot 2\cdot {{10}^{-6}}=1,34\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{q}_{4}}=q-{{q}_{2}}.{{q}_{4}}=4\cdot {{10}^{-6}}-1,34\cdot {{10}^{-6}}=2,66\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 4∙10^-6 Ф, 1,34∙10^-6 Ф, 2,66∙10^-6 Ф, 4∙10^-6 Ф.
4) энергию электрического поля каждого конденсатора и общую энергию системы.

\[ \begin{align}
  & W=\frac{C\cdot {{U}^{2}}}{2}.W=\frac{0,67\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{6}^{2}}}{2}=12,06\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{W}_{1}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot U_{1}^{2}}{2}.{{W}_{1}}=\frac{1\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{4}^{2}}}{2}=8\cdot {{10}^{-6}}.{{W}_{2}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot U_{2}^{2}}{2}.{{W}_{2}}=\frac{2\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{0,67}^{2}}}{2}=0,45\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{W}_{3}}=\frac{{{C}_{3}}\cdot U_{3}^{2}}{2}.{{W}_{3}}=\frac{3\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{1,33}^{2}}}{2}=2,65\cdot {{10}^{-6}}.{{W}_{4}}=\frac{{{C}_{4}}\cdot U_{4}^{2}}{2}.{{W}_{4}}=\frac{4\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{0,67}^{2}}}{2}=0,9\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 12,06∙10^-6 Дж, 8∙10^-6 Дж, 0,45∙10^-6 Дж, 2,65∙10^-6 Дж, 0,9∙10^-6 Дж.

[Сергей]

Рис. б.) Определим: 1) общую ёмкость цепи;
С₁ и С₂ соединены последовательно

\[ \frac{1}{{{C}_{12}}}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}}.{{C}_{12}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot {{C}_{2}}}{{{C}_{1}}+{{C}_{2}}}.{{C}_{12}}=\frac{1\cdot {{10}^{-6}}\cdot 2\cdot {{10}^{-6}}}{1\cdot {{10}^{-6}}+2\cdot {{10}^{-6}}}=0,67\cdot {{10}^{-6}}. \]

С₁₂, С₄ и С₃ соединены параллельно, общая ёмкость цепи равна

С = С₁₂ + С₃ + С₄. С = 0,67∙10^-6 + 3∙10^-6 + 4∙10^-6 = 7,67∙10^-6.

Ответ: 7,67∙10^-6 Ф. 
2) разность потенциалов на каждом конденсаторе;
3) заряд на каждом конденсаторе;

\[ \begin{align}
  & U={{U}_{12}}={{U}_{3}}={{U}_{4}}.U=\frac{q}{C}.q=U\cdot C.q=6\cdot 7,67\cdot {{10}^{-6}}=46\cdot {{10}^{-6}}\cdot  \\
 & {{U}_{12}}={{U}_{1}}+{{U}_{2}}.{{q}_{12}}={{U}_{12}}\cdot {{C}_{12}}.{{q}_{12}}=6\cdot 0,67\cdot {{10}^{-6}}=4\cdot {{10}^{-6}}\cdot  \\
 & {{q}_{12}}={{q}_{1}}={{q}_{2}},{{U}_{1}}=\frac{{{q}_{1}}}{{{C}_{1}}}.{{U}_{1}}=\frac{4\cdot {{10}^{-6}}}{1\cdot {{10}^{-6}}}=4\cdot {{U}_{2}}=\frac{{{q}_{2}}}{{{C}_{2}}}.{{U}_{3}}=\frac{4\cdot {{10}^{-6}}}{2\cdot {{10}^{-6}}}=2\cdot  \\
 & {{q}_{3}}={{U}_{3}}\cdot {{C}_{3}}.{{q}_{3}}=6\cdot 3\cdot {{10}^{-6}}=18\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{q}_{4}}={{U}_{4}}\cdot {{C}_{4}}.{{q}_{4}}=6\cdot 4\cdot {{10}^{-6}}=24\cdot {{10}^{-6}}\cdot  \\
\end{align} \]

Ответ: U₃ = U₄ = 6 В, U₁ = 4 В, U₂ = 2 В.
Ответ: q₁ = 4∙10^-6 Ф, q₂ = 4∙10^-6 Ф, q₃ = 18∙10^-6 Ф, q₄ = 24∙10^-6 Ф.
4) энергию электрического поля каждого конденсатора и общую энергию системы.

\[ \begin{align}
  & W=\frac{C\cdot {{U}^{2}}}{2}.W=\frac{7,67\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{6}^{2}}}{2}=138,06\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{W}_{1}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot U_{1}^{2}}{2}.{{W}_{1}}=\frac{1\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{4}^{2}}}{2}=8\cdot {{10}^{-6}}.{{W}_{2}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot U_{2}^{2}}{2}.{{W}_{2}}=\frac{2\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{2}^{2}}}{2}=4\cdot {{10}^{-6}}. \\
 & {{W}_{3}}=\frac{{{C}_{3}}\cdot U_{3}^{2}}{2}.{{W}_{3}}=\frac{3\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{6}^{2}}}{2}=54\cdot {{10}^{-6}}.{{W}_{4}}=\frac{{{C}_{4}}\cdot U_{4}^{2}}{2}.{{W}_{4}}=\frac{4\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{6}^{2}}}{2}=72\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 138,06∙10^-6 Дж, 8∙10^-6 Дж, 4∙10^-6 Дж, 54∙10^-6 Дж, 72∙10^-6 Дж.