Будут ли спектры разных порядков перекрываться друг другом?

[Антон Огурцевич]

Задача 1. На дифракционную решётку, содержащую 200 штрихов на 1 мм, падает нормально свет, пропущенный через светофильтр. Фильтр пропускает длины волн от λ₁ = 400 нм до λ₂ = 600 нм. Будут ли спектры разных порядков перекрываться друг другом? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Максимум дифракционной решетки определяется по формуле:

d∙sinφ = k∙λ   (1).

Период дифракционной решетки определим по формуле:   

\[ d=\frac{l}{N}(2).
 \]

  После прохождения дифракционной решетки больше всего отклоняется свет с большей длиной волны, а свет с меньшей длиной волны отклоняется на меньший угол.
Определим угол отклонения лучей, соответствующих первому дифракционному максимуму для света λ₂ = 600 нм, и света λ₁ = 400 нм для второго порядка. И сравним полученные углы.

\[ \begin{align}
  & \frac{l}{N}\cdot \sin \varphi =k\cdot \lambda ,\sin \varphi =\frac{k\cdot \lambda \cdot N}{l}(3).\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{1\cdot {{\lambda }_{2}}\cdot N}{l}(3).\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{2\cdot {{\lambda }_{1}}\cdot N}{l}(3). \\
 & \sin {{\varphi }_{1}}=\frac{1\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,12.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{2\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,16. \\
 & {{\varphi }_{1}}=7{}^\circ .{{\varphi }_{2}}=9,5{}^\circ . \\
\end{align} \]

Определим максимальный порядок спектра

\[ \sin \varphi =1,\frac{l}{N}=k\cdot \lambda ,k=\frac{l}{N\cdot \lambda }.k=\frac{{{10}^{-3}}}{200\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}}=8.
 \]

\[ \begin{align}
  & {{k}_{1}}=2,{{k}_{2}}=3,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{2\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,24.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{3\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,24. \\
 & {{k}_{1}}=3,{{k}_{2}}=4,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{3\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,36.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{4\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,32. \\
 & {{k}_{1}}=4,{{k}_{2}}=5,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{4\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,48.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{5\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,4. \\
 & {{k}_{1}}=5,{{k}_{2}}=6,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{5\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,6.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{6\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,48. \\
 & {{k}_{1}}=6,{{k}_{2}}=7,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{6\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,72.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{7\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,56. \\
 & {{k}_{1}}=7,{{k}_{2}}=8,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{7\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,84.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{8\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,64. \\
 & {{k}_{1}}=8,{{k}_{2}}=9,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{8\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,96.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{9\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,72. \\
 & {{k}_{1}}=9,{{k}_{2}}=10,\sin {{\varphi }_{1}}=\frac{9\cdot 600\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=1,084.\sin {{\varphi }_{2}}=\frac{10\cdot 400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 200}{{{10}^{-3}}}=0,8. \\
\end{align}
 \]

Ответ: Спектры не перекрываются в интервале 1< k <2, а в интервале 2 < k < 9 могут перекрываться.