Стеклянная призма

[Антон Огурцевич]

1. Выяснить, в каких пределах может изменяться угол отклонения, даваемый стеклянной призмой с преломляющим углом 60°? Как изменится ответ, если призму поместить в воду? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Материал призмы имеет коэффициент преломления, коэффициент преломления стекла n = 1,6 (табличные данные). Падающий луч проходя через призму отклоняется, угол отклонения зависит от показателя преломления материала призмы, отклоняющего угла и угла падения луча на призму. Минимальный угол отклонения луча будет в случае симметричного хода луча: угол падения луча на первую грань равен углу преломления на второй грани.
Определим минимальный угол отклонения луча при падении на стеклянную призму в воздухе n_в = 1,0 (табличные данные). (Рис. 1).

α₁ = β₂   (1).

\[ \begin{align}
  & \frac{\sin {{\alpha }_{1}}}{\sin {{\beta }_{1}}}=\frac{n}{{{n}_{0}}}(2),\frac{\sin {{\alpha }_{2}}}{\sin {{\beta }_{2}}}=\frac{{{n}_{0}}}{n}(3),\sin {{\alpha }_{1}}=\frac{n}{{{n}_{0}}}\cdot \sin {{\beta }_{1}},\sin {{\alpha }_{1}}=\frac{1,6}{1,0}\cdot \frac{1}{2}=0,8. \\
 & {{\alpha }_{1}}=\arcsin 0,8=54{}^\circ . \\
 & \sin {{\beta }_{1}}=\frac{{{n}_{0}}}{n}\cdot \sin {{\alpha }_{1}},\sin {{\alpha }_{2}}=\frac{{{n}_{0}}}{n}\cdot \sin {{\beta }_{2}}. \\
\end{align} \]

β₁  = α₂, угол ВАС равен углу ВСА, треугольник ВАС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник ВАС. Угол ВАС равен 90º – β₁, угол ВСА равен 90º – α₂. Сумма всех углов треугольника равна 180º.

90º – β₁ + 90º – α₂ + φ = 180º, β₁ + α₂ = φ, 2∙β₁ = φ, β₁ = 30°  (3).

Угол наименьшего отклонения, внешний угол δ треугольника АОС.

\[ \begin{align}
  & {{\alpha }_{1}}-{{\beta }_{1}}+{{\beta }_{2}}-{{\alpha }_{2}}=\delta ,{{\alpha }_{1}}-{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}=\delta ,{{\alpha }_{1}}-{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{1}}-{{\beta }_{1}}=\delta ,2\cdot ({{\alpha }_{1}}-{{\beta }_{1}})=\delta , \\
 & \delta =2\cdot (54{}^\circ -30{}^\circ )=48{}^\circ . \\
\end{align}
 \]

Призму поместили в воду, определим угол наименьшего отклонения призмы в воде.
Для решения задачи необходим абсолютный показатель преломления воды, n₁ = 1,33.

\[ \begin{align}
  & \frac{\sin {{\alpha }_{1}}}{\sin {{\beta }_{1}}}=\frac{n}{{{n}_{1}}},\sin {{\alpha }_{1}}=\frac{1,6}{1,33}\cdot \frac{1}{2}=0,6.{{\alpha }_{1}}=\arcsin 0,6=37{}^\circ . \\
 & \delta =2\cdot (37{}^\circ -30{}^\circ )=14{}^\circ . \\
\end{align} \]

Определим максимальный угол отклонения луча при падении на стеклянную призму в воздухе. Максимальное отклонение достигается при условии, что угол падения α₁ = 90°. (Рис. 2).
δ = 180°- φ, δ = 180°- 60° = 120°.
Ответ: Для воздуха 48° ≤ δ ≤ 120°.
             Для воды 14° ≤ δ ≤ 120°.