Каким должен быть объём воздушного шара

[Антон Огурцевич]

12. Каким должен быть объём воздушного шара V, чтобы поднять полезный груз массой 2∙M, где M – масса Вашего тела? Собственная масса воздушного шара - 3∙M, атмосферное давление p = 102 КПа, температура воздуха t₀ = 17° С, горелка нагревает воздух внутри шара на ΔT = 270 К. M = 75 кг. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Т₀ = 290 К.
Шар будет подниматься если выполняется условие

\[ m\cdot g<{{F}_{A}},2\cdot M\cdot g+3\cdot M\cdot g+m\cdot g<\rho \cdot g\cdot V,5\cdot M+m<\rho \cdot V(1). \]

Где: ρ – плотность наружного воздуха, m – масса воздуха внутри шара.

\[ \begin{align}
  & p\cdot V=\frac{m}{{{M}_{1}}}\cdot R\cdot T,T={{T}_{0}}+\Delta T,m=\frac{p\cdot V\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot ({{T}_{0}}+\Delta T)}(2). \\
 & p\cdot V=\frac{m}{{{M}_{1}}}\cdot R\cdot {{T}_{0}},p\cdot {{M}_{1}}=\frac{m}{V}\cdot R\cdot {{T}_{0}},p\cdot {{M}_{1}}=\rho \cdot R\cdot {{T}_{0}},\rho =\frac{p\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot {{T}_{0}}}. \\
 & 5\cdot M+\frac{p\cdot V\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot ({{T}_{0}}+\Delta T)}<\frac{p\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot {{T}_{0}}}\cdot V,5\cdot M<\frac{p\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot {{T}_{0}}}\cdot V-\frac{p\cdot V\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot ({{T}_{0}}+\Delta T)}, \\
 & 5\cdot M<V\cdot (\frac{p\cdot M}{R\cdot {{T}_{0}}}-\frac{p\cdot M}{R\cdot ({{T}_{0}}+\Delta T)}),V>\frac{5\cdot M}{\frac{p\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot {{T}_{0}}}-\frac{p\cdot {{M}_{1}}}{R\cdot ({{T}_{0}}+\Delta T)}},V>\frac{5\cdot M}{\frac{p\cdot {{M}_{1}}}{R}\cdot (\frac{1}{{{T}_{0}}}-\frac{1}{({{T}_{0}}+\Delta T)})}, \\
 & V>\frac{5\cdot M\cdot R}{p\cdot {{M}_{1}}(\frac{{{T}_{0}}+\Delta T-{{T}_{0}}}{{{T}_{0}}\cdot ({{T}_{0}}+\Delta T)})},V>\frac{5\cdot M\cdot R\cdot {{T}_{0}}\cdot ({{T}_{0}}+\Delta T)}{{{M}_{1}}\cdot p\cdot \Delta T}.V>\frac{5\cdot 75\cdot 8,31\cdot 290\cdot (290+270)}{102\cdot {{10}^{3}}\cdot 270\cdot 0,029}=634. \\
\end{align} \]

Где: R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная, М₁ – молярная масса воздуха, М₁ = 0,029 кг/моль.
Ответ: V > 634 м³.