Определить количество тепла

[Антон Огурцевич]

27. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл работа равна A, количество полученного за цикл тепла Q. Минимальные значения объёма и давления равны V₁ и P₁, максимальные V₂ и P₂. Определить количество тепла Q, если P₁ = 170 кПа; V₁ = 0,25 м³; V₂ = 0,85 м³; A = 32 кДж. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок.
Запишем уравнение состояния идеального газа и определим минимальную температуру

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}},{{T}_{1}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}(1),{{T}_{1}}=\frac{170\cdot {{10}^{3}}\cdot 0,25}{{{10}^{3}}\cdot 8,31}=5,114.
 \]

4 → 1 – изобарный процесс, определим Т₄

\[ \frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{4}}},{{T}_{4}}=\frac{{{V}_{2}}\cdot {{T}_{1}}}{{{V}_{1}}}(2),\,{{T}_{4}}=\frac{0,85\cdot 5,114}{0,25}=17,4. \]

Работа газа за цикл равна суме работ на каждом участке. Учитываем, что на участке 1 → 2 и 3 → 4 работа газа равна нулю, так как процесс изохорный

\[ \begin{align}
  & A={{A}_{12}}+{{A}_{23}}+{{A}_{34}}+{{A}_{41}},{{A}_{12}}=0,{{A}_{34}}=0, \\
 & {{A}_{41}}=\nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{4}})(3),\,{{A}_{41}}={{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (5,114-17,4)=-102\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{A}_{23}}=A-{{A}_{41}},{{A}_{23}}=32\cdot {{10}^{3}}-(-102\cdot {{10}^{3}})=134\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{A}_{23}}={{p}_{2}}\cdot ({{V}_{3}}-{{V}_{2}}),{{p}_{2}}=\frac{{{A}_{23}}}{{{V}_{3}}-{{V}_{2}}},{{p}_{2}}=\frac{134\cdot {{10}^{3}}}{0,85-0,25}=223,3\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align} \]

Запишем уравнение состояния идеального газа и определим температуру Т₂

\[ {{p}_{2}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{2}},{{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R},{{T}_{2}}=\frac{223,3\cdot {{10}^{3}}\cdot 0,25}{{{10}^{3}}\cdot 8,31}=6,72. \]

2 → 3 – изобарный процесс, определим Т₃

\[ \frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{3}}},{{T}_{3}}=\frac{{{V}_{2}}\cdot {{T}_{2}}}{{{V}_{1}}},\,{{T}_{3}}=\frac{0,85\cdot 6,72}{0,25}=22,84. \]

Газ теплоту получал на участках на которых увеличивалась температура. Определим количество теплоты по формуле

\[ Q={{Q}_{12}}+{{Q}_{23}}. \]

Количество теплоты на каждом участке определим используя первый закон термодинамики:

Q = A +∆U.

Запишем формулу для вычисления изменения внутренней энергии, учитываем, что газ двухатомный i = 5, R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная.

\[ \begin{align}
  & \Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T,\Delta {{U}_{12}}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),\Delta {{U}_{12}}=\frac{5}{2}\cdot {{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (6,72-5,114)=33,4\cdot {{10}^{3}}. \\
 & \Delta {{U}_{23}}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),\Delta {{U}_{23}}=\frac{5}{2}\cdot {{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (22,84-6,72)=335\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{Q}_{12}}=\Delta {{U}_{12}}+{{A}_{12}},{{Q}_{12}}=33,4\cdot {{10}^{3}}+0=33,4\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{Q}_{23}}=\Delta {{U}_{23}}+{{A}_{23}},{{Q}_{23}}=335\cdot {{10}^{3}}+134\cdot {{10}^{3}}=469\cdot {{10}^{3}}. \\
 & Q=33,4\cdot {{10}^{3}}+469\cdot {{10}^{3}}=502,4\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 502,4∙10³ Дж.

[Сергей]

Газ получает количество теплоты если температура на участке увеличивается.
Температура увеличивается на участке 12 и 23.
Q₁ = Q₁₂ + Q₂₃. Q₁ > 0.
Газ отдает количество теплоты если температура на участке уменьшается.
Температура уменьшается на участке 34 и 41.
Q2 = Q₃₄ + Q₄₁. Q₂ < 0.
Работа газа за цикл
А = Q₁ + Q₂.                           А = Q₁ -│Q₂│.

[Сергей]

Определим количество теплоты которое отдает газ

\[ \begin{align}
  & \Delta {{U}_{34}}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{4}}-{{T}_{3}}),\Delta {{U}_{34}}=\frac{5}{2}\cdot {{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (17,4-22,84)=-113\cdot {{10}^{3}}. \\
 & \Delta {{U}_{23}}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),\Delta {{U}_{23}}=\frac{5}{2}\cdot {{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (5,114-17,4)=-255\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{Q}_{34}}=\Delta {{U}_{34}}+{{A}_{34}},{{Q}_{34}}=-113\cdot {{10}^{3}}+0=-113\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{Q}_{41}}=\Delta {{U}_{41}}+{{A}_{41}},{{Q}_{41}}=-255\cdot {{10}^{3}}-102\cdot {{10}^{3}}=-357\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{Q}_{2}}=-113\cdot {{10}^{3}}-357\cdot {{10}^{3}}=-470\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: -470∙10³ Дж.
По условию задачи определить количество полученного за цикл тепла Q.