По двум прямолинейным параллельным проводникам большой длины

[Антон Огурцевич]

6. По двум прямолинейным параллельным проводникам большой длины, расположенным в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга, текут токи 24 А и 16 А. Найти геометрическое место точек, в которых индукция магнитного поля равна нулю при одинаковых и противоположных направлениях токов. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1). Рассмотрим случай, когда токи текут в одном направлении. Покажем рисунок. Направление вектора магнитной индукции определим по правилу буравчика. Результирующий вектор магнитной индукции определим по правилу суперпозиции. Магнитная индукция, создаваемая проводником с током на расстоянии R от проводника определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot R},\ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}\ \ \ (1),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{2}}}\ \ \ (2). \\
 & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{1}}\ +{{{\vec{B}}}_{2}},\,-{{B}_{1}}\ +{{B}_{2}}=0(1),{{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (R-x)}\ \ \ (2),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot x}\ \ \ (3). \\
 & -\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (R-x)}+\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot x}=0,\ \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (R-x)}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot x},\frac{{{I}_{1}}}{R-x}=\frac{{{I}_{2}}}{x},{{I}_{1}}\cdot x={{I}_{2}}\cdot R-{{I}_{2}}\cdot x, \\
 & x=\frac{{{I}_{2}}\cdot R}{{{I}_{1}}+{{I}_{2}}}. \\
 & x=\frac{16\cdot 0,2}{24+16}=0,08. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 8 см. от второго проводника, 12 см. от первого проводника.
2). Рассмотрим случай, когда токи текут в противоположных направлениях. Покажем рисунок. Направление вектора магнитной индукции определим по правилу буравчика. Результирующий вектор магнитной индукции определим по правилу суперпозиции. Магнитная индукция, создаваемая проводником с током на расстоянии R от проводника определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot R},\ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}\ \ \ (1),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{2}}}\ \ \ (2). \\
 & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{1}}\ +{{{\vec{B}}}_{2}},\,{{B}_{1}}\ -{{B}_{2}}=0(1),{{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (R+x)}\ \ \ (2),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot x}\ \ \ (3). \\
 & \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (R+x)}-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot x}=0,\ \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (R+x)}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot x},\frac{{{I}_{1}}}{R+x}=\frac{{{I}_{2}}}{x},{{I}_{1}}\cdot x={{I}_{2}}\cdot R+{{I}_{2}}\cdot x, \\
 & x=\frac{{{I}_{2}}\cdot R}{{{I}_{1}}-{{I}_{2}}}. \\
 & x=\frac{16\cdot 0,2}{24-16}=0,4. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 40 см. от второго проводника, 60 см. от первого проводника.