По тонкому проводнику

[Антон Огурцевич]

По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного шестиугольника, со стороной а = 10 см, течёт ток I = 23 А. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника. Ответ отобразить в мкТл. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. 
Направление вектора магнитной индукции на каждом участке определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции

В = 6∙В_АВ    (1).

Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\  \\
 & {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha =-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \left. cos\alpha  \right|_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}=-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot }(\cos {{\alpha }_{2}}-\cos {{\alpha }_{1}}), \\
 & {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
R – высота равностороннего треугольника ОАВ.

\[ \begin{align}
  & {{\alpha }_{1}}=\frac{\pi }{3},{{\alpha }_{1}}=\frac{2\cdot \pi }{3},R=a\cdot \sin \frac{\pi }{3}. \\
 & B=6\cdot {{B}_{1}}=6\cdot \frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 23}{4\cdot \pi \cdot 0,1\cdot \sin \frac{\pi }{3}}\cdot (\cos \frac{\pi }{3}-\cos \frac{2\cdot \pi }{3})=6\cdot \frac{{{10}^{-7}}\cdot 23}{0,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=159,5\cdot {{10}^{-6}}.\  \\
\end{align} \]

Ответ: 159,5 мкТл.