Бесконечно длинный провод с током

[Антон Огурцевич]

5. Бесконечно длинный провод с током I=100 А изогнут так, как это показано на рисунке. В плоскости, в которой лежит изогнутый провод, пролетает протон по направлению к точке О со скоростью ν = 4∙10⁵ м/с. Определить величину и направление силы Лоренца, действующую на протон, в точке О, если радиус закругления R = 4 см. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим величину и направление магнитной индукции в точке О.
   Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная.  Рассмотрим четыре участка АВ, ВС, СD, DЕ.
Для определения направления вектора магнитной индукции для каждого участка в точке О применим правило правой руки: если мысленно обхватить проводник правой рукой, так чтобы большой палец показывал направление тока, то согнутые остальные пальцы покажут направление линий магнитной индукции в точке О. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям магнитной индукции в точке О. Покажем рисунок.
Магнитная индукция в точке О направленная от нас.
Магнитная индукция на участке АВ равна нулю, так как точка О лежит на оси этого проводника. Применим принцип суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DE}},\  \\
 & Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DE}},{{B}_{AB}}=0,\ B={{B}_{BC}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DE}}\ \ (1). \\
\end{align} \]

Магнитную индукцию на участке ВС определим, как одну четвертую индукции в центре кругового витка с током:

\[ {{B}_{BC}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}\ \ \ (2),{{B}_{BC}}=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 100}{4\cdot 2\cdot 4\cdot {{10}^{-2}}}=39,25\cdot {{10}^{-5}}. \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке СD и DЕ.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \varphi d\varphi ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \varphi d\varphi ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\varphi }_{1}}-\cos {{\varphi }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Где: R - расстояние от т. О до проводника
Углы φ₁ и φ₂, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ,
ОСDК – квадрат.
 Для участка СD φ₂ = 3∙π/4, φ₁ =  π/2. Для участка DЕ φ₂ = π, φ₁ = π/ 4.

\[ \begin{align}
  & {{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{2}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ {{B}_{CD}}=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 100}{4\cdot \pi \cdot 4\cdot {{10}^{-2}}}\cdot (0+\frac{\sqrt{2}}{2})=17,63\cdot {{10}^{-5}}\ , \\
 & {{B}_{DE}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}-\cos \pi )\ ,\ {{B}_{CD}}=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 100}{4\cdot \pi \cdot 4\cdot {{10}^{-2}}}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)=42,63\cdot {{10}^{-5}}. \\
 & B=0+\ 39,25\cdot {{10}^{-5}}+17,63\cdot {{10}^{-5}}+42,63\cdot {{10}^{-5}}=99,51\cdot {{10}^{-5}}. \\
\end{align} \]

Направление силы Лоренца   определяется правилом левой руки: если вытянутые пальцы расположить по направлению скорости положительного заряда, а силовые линии магнитного поля будут входить в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей на заряд со стороны магнитного поля (Рис.).
Определим силу Лоренца

\[ {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha ,\sin \alpha =1,{{F}_{L}}=1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 99,51\cdot {{10}^{-5}}\cdot 4\cdot {{10}^{5}}=637\cdot {{10}^{-19}}. \]

Ответ: 637∙10^-19 Н.