Горизонтально расположенное кольцо массой

[Антон Огурцевич]

1. Горизонтально расположенное кольцо массой m, с внутренним и внешним радиусами R и 2∙R соответственно, равномерно вращается вокруг вертикальной оси, касаясь её своей внутренней стороной. Наибольшая скорость, которой обладает одна из точек кольца, равна υ. Чему равен момент импульса кольца относительно оси вращения? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Момент импульса кольца относительно оси вращения – это произведение момента инерции кольца на угловую скорость вращения относительно оси вращения. Запишем формулу для определения момента импульса и угловой скорости вращения кольца

\[ L=J\cdot \omega (1),\omega =\frac{{{\upsilon }_{\max }}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}(2),L=J\cdot \frac{{{\upsilon }_{\max }}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}(3). \]

Определим момент инерции кольца.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

J = J₀ + m∙R₁²   (4).

Определим момент инерции кольца J₀ относительно оси, проходящей через центр масс.
Разобьем это кольцо на тонкие кольца. Момент инерции этого кольца относительно оси ОО' равен:

\[ \begin{align}
  & d{{J}_{0}}={{r}^{2}}dm,dm=\rho dV=2\cdot \pi \cdot \rho \cdot hdr,d{{J}_{0}}=\rho \cdot {{r}^{3}}\cdot 2\cdot \pi \cdot hdr. \\
 & {{J}_{0}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\rho \cdot {{r}^{3}}\cdot 2\cdot \pi \cdot hdr}=\rho \cdot 2\cdot \pi \cdot h\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{{{r}^{3}}dr}=\left. \frac{1}{4}\cdot \rho \cdot 2\cdot \pi \cdot h\cdot {{r}^{4}} \right|_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot \pi \cdot h\cdot (R_{2}^{4}-R_{1}^{4}), \\
 & m=\rho \cdot V=\rho \cdot \pi \cdot h\cdot (R_{2}^{2}-R_{1}^{2}), \\
 & {{J}_{0}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot (R_{2}^{2}+R_{1}^{2})(5). \\
 & J=\frac{1}{2}\cdot m\cdot (R_{2}^{2}+R_{1}^{2})+m\cdot R_{1}^{2}, \\
 & L=(\frac{1}{2}\cdot m\cdot (R_{2}^{2}+R_{1}^{2})+m\cdot R_{1}^{2})\cdot \frac{{{\upsilon }_{\max }}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}(6). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & L=(\frac{1}{2}\cdot m\cdot (4\cdot {{R}^{2}}+{{R}^{2}})+m\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{{{\upsilon }_{\max }}}{3\cdot R}, \\
 & L=\frac{7}{6}\cdot R\cdot m\cdot {{\upsilon }_{\max }}. \\\end{align}  \]


Оплатите 3,0 руб.

[Антон Огурцевич]

Серёжа спасибо огромное за грамотные и исчерпывающие решения я оплатил эту задачку)