Задача про ускорение поршня при вылете

[Sneggh]

Поршень массой m=8,1 кг, находящийся посередине короткой вертикальной покоящейся трубы диаметром d=80 мм, открытой снизу и закрытой сверху, герметично прилегает к ее гладким стенкам. Трубу разгоняют с медленно нарастающим вертикальным ускорением. Найти ускорение поршня \( \vec a \), когда он вылетит из трубы. Атмосферное давление нормальное,  температура газа под поршнем постоянна.

Решение.
Так как в начальном состоянии поршень покоится, то справедливо равенство:
\[ mg+pS=p_0S \;\;\; (1) \]
pS - сила давления газа,
p_0S - сила давления воздуха (p₀ =10⁵ Па.)
Запишем 2-й закон Ньютона для случая, когда труба ускоряется вверх. В проекциях на ось OY:
\[ ma=p_0S-mg-p_1S; \;\;\; (2) \]
Давление газа p₁ найдем из закона Бойля-Мариотта (T = const), учитывая, что объем газа увеличился в 2 раза (поршень переместился к концу трубы):
\[ pV=p_1\cdot2V; \;\;\; p_1=\frac{p}{2} \]

Подставляя это выражение в уравнение (2), получим:
\[ ma=p_0S-mg-\frac{pS}{2} \;\;\; (3) \]
Решая уравнение (3) совместно с уравнением (1), получаем выражение для ускорения a:
\[ a=\frac{3}{2}(\frac{p_0S}{m}-g) \]
Учитывая, что площадь поршня S равна:
\[ S=\frac{\pi d^2}{4}, \]
окончательно для ускорения a имеем:
\[ a=\frac{3}{2}(\frac{p_0\pi d^2}{4m}-g); \]
Так как вектор ускорения поршня \( \vec a \) противоположно направлен вектору ускорения трубы, то искомое значение ускорения равно:
\[ a=\frac{3}{2}(g-\frac{p_0\pi d^2}{4m}). \]

[Sneggh]

alsak, найдите ошибку пожалуйста! с ответом не сходится!

[alsak]

Ошибка в математике

Решая уравнение (3) совместно с уравнением (1), получаем выражение для ускорения a:

\[ a=\frac{3}{2}(\frac{p_0S}{m}-g) \]

Решая уравнение (3) совместно с уравнением (1), получаем выражение для ускорения:
 

\[ p \cdot S = p_{0} \cdot S - m \cdot g, \]

\[ m \cdot a = p_{0} \cdot S - m \cdot g - \frac{p_{0} \cdot S - m \cdot g}{2} = \frac{p_{0} \cdot S - m \cdot g}{2}, \]

\[ a = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{p_{0} \cdot S}{m} - g \right). \]