полное условие Шар и сплошной цилиндр, двигаясь с одинаковой скоростью, вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимется выше? Найдите отношение высот подъема.
Решение: воспользуемся законом сохранения энергии (трение в системе отсутствует, т.е. система замкнута). Учтём, что кинетическая энергия при движении шара и цилиндра состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
Для сплошного цилиндра:
\[ {{m}_{1}}\cdot g\cdot {{h}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{{{j}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2}. \]
Для шара:
\[ {{m}_{2}}\cdot g\cdot {{h}_{2}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{{{j}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}, \]
\[ {{j}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot r_{1}^{2}}{2}- \]
момент инерции сплошного цилиндра;
\[ {{j}_{2}}=\frac{2\cdot {{m}_{2}}\cdot r_{2}^{2}}{5}- \]
момент инерции шара;
т.к. тела скорее всего движутся без проскальзывания, то скорость поступательного движения и скорость вращательного движения точек поверхности равны.
\[ {{\omega }_{1}}=\frac{\upsilon }{{{r}_{1}}}- \]
угловая скорость вращения цилиндра;
\[ {{\omega }_{2}}=\frac{\upsilon }{{{r}_{2}}}- \]
угловая скорость вращения шара;
После подстановки, получим:
\[ 2\cdot g\cdot {{h}_{1}}=\frac{3\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}, \;\;\;
2\cdot g\cdot {{h}_{2}}=\frac{7\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5}, \]
\[ \frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{15}{14}\approx 1,07. \]
Ответ: сплошной цилиндр поднимется выше в 1,07 раза
