Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

245. С какой начальной скоростью необходимо бросать вертикально вниз тело массой m = 2,0 кг, чтобы через t₁ = 1,0 с его кинетическая энергия W_k была равна 2,5 кДж? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с². Сопротивлением воздуха пренебречь.

1 способ.

2 способ. Найдем скорость тела υ₁ через t₁ = 1,0 с. Так как нам в этот момент времени известна кинетическая энергия W_k, то
\[ W_{k} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2}, \; \; \; \upsilon _{1} =\sqrt{\frac{2W_{k} }{m} }. \]
Запишем уравнение проекции скорости на вертикальную ось 0Y, направленную вниз:

υ_y = υ_0y + a_y⋅t или υ₁ = υ₀ + g⋅t₁,

та как υ_0y = υ₀, a_y = g, через время t₁ = 1,0 с скорость υ_y = υ₁. Тогда
\[ \upsilon _{0} =\upsilon _{1} -g\cdot t_{1} =\sqrt{\frac{2W_{k} }{m} } -g\cdot t_{1}, \]
υ₀ = 40 м/с.

[alsak]

230. Сваю массой m1 = 100 кг забивают в грунт с помощью копра; при этом груз массой m₂ = 300 кг свободно падает с высоты H = 4,0 м и при каждом ударе свая опускается на h = 10 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, для двух случаев: а) удар груза копра о сваю абсолютно упругий; б) удар абсолютно неупругий.

Решение. Задачу будем решать, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится центр тяжести сваи до удара (рис. 1). Обозначим высоту сваи буквой L.
Решение данной задачу разобьем на несколько этапов.

1 этап: падение копра до удара о сваю.
Полная механическая энергия копра в начальном состоянии (рис. 1, а)

W₀₁ = m₂⋅g⋅h₀,

где h₀ = H + L/2 (см. примечание п. 1-3).
Полная механическая энергия копра в конечном состоянии (рис. 1, б)
\[W_{1} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} +m_{2} \cdot g\cdot h_{1} ,\]
где h₁ = L/2.
Так как на копр не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии:
\[\begin{array}{c} {W_{01} =W_{1} ,\; \; \; m_{2} \cdot g\cdot \left(\frac{L}{2} +H\right)\; =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} +m_{2} \cdot g\cdot \frac{L}{2} ,} \\ {g\cdot H\; =\frac{\upsilon _{2}^{2} }{2} ,\; \; \; \upsilon _{2}^{2} =2g\cdot H. \; \; \; (1)} \end{array}\]

Случай а) удар груза копра о сваю абсолютно упругий.
2 этап: удар копра о сваю. При упругом ударе выполняются и закон сохранения энергии, и закон сохранения импульса.
Полная механическая энергия и импульс системы копр-свая в начальном состоянии (скорость сваи равна нулю) (см. рис. 1, б)
\[W_{02} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} +m_{2} \cdot g\cdot h_{1} ,\; \; \; \vec{p}_{0} =m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} .\]
Полная механическая энергия и импульс системы копр-свая в конечном состоянии (потенциальные энергии копра и сваи за время удара не изменяются) (рис. 1, в)
\[W_{2} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{4}^{2} }{2} +m_{2} \cdot g\cdot h_{1} +\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} ,\; \; \; \vec{p}=m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{3} +m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{4} .\]

Запишем закон сохранения энергии и проекцию закона сохранения импульса на вертикальную ось 0Y, направленную вниз:
\[\begin{array}{c} {W_{02} =W_{2} , \; \; \; \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} +m_{2} \cdot g\cdot h_{1} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{4}^{2} }{2} +m_{2} \cdot g\cdot h_{1} +\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} ,} \\ {\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{4}^{2} }{2} +\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} , \; \; \; m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} =m_{2} \cdot \upsilon _{4}^{2} +m_{1} \cdot \upsilon _{3}^{2} , \; \; \; (2)} \\ {\vec{p}_{0} =\vec{p}, \; \; \; 0Y:\; \; m_{2} \cdot \upsilon _{2} =m_{1} \cdot \upsilon _{3} -m_{2} \cdot \upsilon _{4} . \; \; \; (3)} \end{array}\]
Решим систему уравнений (2)-(3) и найдем υ₃. Например,
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{4} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{3} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} }{m_{2} } , \; \; \; m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} =\frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon _{3} -m_{2} \cdot \upsilon _{2} \right)^{2} }{m_{2} } +m_{1} \cdot \upsilon _{3}^{2} ,} \\ {m_{2}^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} =\left(m_{1}^{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} -2m_{1} \cdot \upsilon _{3} \cdot m_{2} \cdot \upsilon _{2} +m_{2}^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} \right)+m_{1} \cdot m_{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} ,} \\ {m_{1}^{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} -2m_{1} \cdot \upsilon _{3} \cdot m_{2} \cdot \upsilon _{2} +m_{1} \cdot m_{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} =0,} \\ {m_{1} \cdot \upsilon _{3} -2m_{2} \cdot \upsilon _{2} +m_{2} \cdot \upsilon _{3} =0, \; \; \; \upsilon _{3} =\frac{2m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \cdot \upsilon _{2} . \; \; \; (4)} \end{array}\]

3 этап: движение сваи.
Полная механическая энергия сваи в начальном состоянии (см. рис. 1, в)
\[W_{03} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} .\]
Полная механическая энергия сваи в конечном состоянии (рис. 1, г)

W₃ = m₁⋅g⋅h₂,

где h₂ = –h (знак «–», т.к. центр тяжести сваи опустился ниже выбранного нуля).
Так как на сваю действует внешняя сила (F_c — сила сопротивления грунта), то работа внешней силы

A = W₃ – W₀₃,

где A = –F_c∙h (знак «–», т.к. сила сопротивления грунта и перемещение сваи направлены в противоположные стороны). Тогда с учетом уравнений (4) и (1) получаем
\[\begin{array}{c} {-F_{c} \cdot h=-m_{1} \cdot g\cdot h-\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} ,\; \; \; F_{c} =m_{1} \cdot \left(g+\frac{1}{2h} \cdot \upsilon _{3}^{2} \right)=m_{1} \cdot \left(g+\frac{1}{2h} \cdot \left(\frac{2m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} \right)=} \\ {=m_{1} \cdot \left(g+\frac{1}{2h} \cdot \left(\frac{2m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} \cdot 2g\cdot H\right)=m_{1} \cdot g\cdot \left(1+\frac{4H}{h} \cdot \left(\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} \right),} \end{array}\]
F_c = 9,1∙10⁴ Н (g = 10 м/с²).

См. Продолжение

[alsak]

См. Начало.
Случай б) удар груза копра о сваю абсолютно неупругий.
2 этап: удар копра о сваю. При неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса.
Импульс системы копр-свая в начальном состоянии (скорость сваи равна нулю) (см. рис. 1, б)
\[\vec{p}_{0} =m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} .\]
Импульс системы копр-свая в конечном состоянии (потенциальные энергии копра и сваи за время удара не изменяются) (рис. 1, д)
\[\vec{p}=\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \vec{\upsilon }_{5} .\]
Запишем проекцию закона сохранения импульса на вертикальную ось 0Y направленную вниз:
\[\vec{p}_{0} =\vec{p}, \; \; \; 0Y:\; \; m_{2} \cdot \upsilon _{2} =\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon _{5} ,\; \; \; \upsilon _{5} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2} }{m_{1} +m_{2} } .\; \; \; (5)\]

3 этап: движение системы свая-копр.
Полная механическая энергия системы свая-копр в начальном состоянии (см. рис. 1, д)
\[W_{03} =\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon _{5}^{2} }{2} .\]
Полная механическая энергия системы свая-копр в конечном состоянии (рис. 1, е)

W₃ = (m₁ + m₂)⋅g⋅h₂,

где h₂ = –h (знак «–», т.к. центр тяжести сваи опустился ниже выбранного нуля).
Так как на сваю действует внешняя сила (F_c — сила сопротивления грунта), то работа внешней силы

A = W₃ – W₀₃,

где A = –F_c∙h (знак «–», т.к. сила сопротивления грунта и перемещение сваи направлены в противоположные стороны). Тогда с учетом уравнений (5) и (1) получаем
\[\begin{array}{c} {-F_{c} \cdot h=-\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g\cdot h-\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon _{5}^{2} }{2} ,} \\ {F_{c} =\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \left(g+\frac{1}{2h} \cdot \upsilon _{5}^{2} \right)=\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \left(g+\frac{1}{2h} \cdot \left(\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} \right)=} \\ {=\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \left(g+\frac{1}{2h} \cdot \left(\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} \cdot 2g\cdot H\right)=\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot g\cdot \left(1+\frac{H}{h} \cdot \left(\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \right)^{2} \right),} \end{array}\]
F_c = 9,4∙10⁴ Н (g = 10 м/с²).

Примечание. 1. По условию «груз … свободно падает с высоты H = 4,0 м». Высота относительно чего? Обычно так задают высоту относительно поверхности земли, но тогда надо знать высоту сваи. В решении считали, что это высота относительно верхнего края сваи.
2. Копр считаем материальной точкой, т.к. не указаны его размеры.
3. В условие надо добавить, что свая однородная.

[alsak]

219. Два пассажира одинаковой массой m = 70 кг находятся на платформе, стоящей неподвижно на рельсах. Масса платформы М = 280 кг. Каждый пассажир начинает бежать с одинаковой относительно платформы скоростью u = 6 м/с. Найти скорость, которую приобретает платформа, если они спрыгнут: а) в одну сторону одновременно; б) в разные стороны одновременно; в) в одну сторону последовательно; г) в разные стороны последовательно. В случаях «в» и «г» второй пассажир начинает бежать после того, как спрыгнет первый.

Задачу будем решать, используя закон сохранения импульса системы относительно неподвижной системы (земли). Начальный импульс системы пассажир-платформа равен нулю. Так как сил сопротивления нет, то импульс системы не должен изменяться.
Введем такие обозначения:
m₁ — масса первого пассажира, m₂ — масса второго пассажира,

m₁ = m₂ = m = 70 кг; (1)

u₁ — скорость первого пассажира относительно платформы, u₂ — скорость второго пассажира относительно платформы,

u₁ = u₂ = u = 6 м/с. (2)

И обращаем ваше внимание, что скорость пассажира и задана относительно платформы.

Решение.
а) Предположим, что пассажиры начали бежать вправо. Тогда платформа должна двигаться в противоположном направлении со скоростью υ_n1 так, чтобы общий импульс системы был равен нулю. Скорость первого пассажира относительно земли υ₁ будет равна
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{2} +\vec{\upsilon }_{1/2} ,\]
где υ₂ = υ_n1 — скорость платформы, υ_1/2 = u₁ — скорость пассажира относительно платформы. Из проекции на ось 0X (рис. 1) получаем:

υ_1x = – υ_n1 + u₁. (3)

Так как второй пассажир движется в ту же сторону, то его скорость относительно земли υ₂ будет аналогично равна

υ_2x = – υ_n1 + u₂. (4)

Тогда закон сохранения импульса относительно земли запишем следующим образом (и учтем уравнения (1) - (4)):
\[\begin{array}{c} {0=m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} +m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} +M\cdot \vec{\upsilon }_{n1} ,} \\ {0X:\; \; \; 0=m_{1} \cdot \upsilon _{1x} +m_{2} \cdot \upsilon _{2x} -M\cdot \upsilon _{n1} ,} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {0=m\cdot \left(-\upsilon _{n1} +u\right)+m\cdot \left(-\upsilon _{n1} +u\right)-M\cdot \upsilon _{n1} =2m\cdot \left(-\upsilon _{n1} +u\right)-M\cdot \upsilon _{n1} ,} \\ {-2m\cdot \upsilon _{n1} +2m\cdot u-M\cdot \upsilon _{n1} =0,\; \; \; \; \upsilon _{n1} =\frac{2m}{M+2m} \cdot u.} \end{array}\]
С такой же скоростью платформа будет продолжать двигаться и после того, как пассажиры спрыгнут с нее, т.е.
υ_n = υ_n1 = 2 м/с.

б) Предположим, что первый пассажир начал бежать вправо, а платформа начала двигаться со скоростью υ_n1 так, чтобы общий импульс системы был равен нулю. Скорость первого пассажира относительно земли υ₁ будет равна
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{2} +\vec{\upsilon }_{1/2} ,\]
где υ₂ = υ_n1 — скорость платформы, υ_1/2 = u₁ — скорость пассажира относительно платформы. Из проекции на ось 0X (рис. 2) получаем:

υ_1x = υ_n1x + u₁. (5)

Так как второй пассажир движется в противоположную сторону, то его скорость относительно земли υ₂ будет равна (см. рис. 2)

υ_2x = υ_n1x – u₂. (6)

Тогда закон сохранения импульса относительно земли запишем следующим образом (и учтем уравнения (1)-(2), (5)-(6)):
\[\begin{array}{c} {0=m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} +m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} +M\cdot \vec{\upsilon }_{n1} ,} \\ {0X:\; \; \; 0=m_{1} \cdot \upsilon _{1x} +m_{2} \cdot \upsilon _{2x} +M\cdot \upsilon _{n1x} ,} \end{array}\]
\[0=m\cdot \left(\upsilon _{n1x} +u\right)+m\cdot \left(\upsilon _{n1x} -u\right)+M\cdot \upsilon _{n1x} =2m\cdot \upsilon _{n1x} +M\cdot \upsilon _{n1x} ,\; \; \; \upsilon _{n1x} =0.\]

С такой же скорость платформа будет продолжать двигаться и после того, как пассажиры спрыгнут с нее.
υ_n = υ_n1 = 0 м/с.

См. продолжение.

[alsak]

Продолжение
в) Предположим, что первый пассажир начал бежать вправо. Тогда платформа (вместе со вторым пассажиром) должна двигаться в противоположном направлении со скоростью υ_n1 так, чтобы общий импульс системы был равен нулю. Скорость первого пассажира относительно земли υ₁ будет равна
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{2} +\vec{\upsilon }_{1/2} ,\]
где υ₂ = υ_n1 — скорость платформы, υ_1/2 = u₁ — скорость пассажира относительно платформы. Из проекции на ось 0X (рис. 3, а) получаем:

υ_1x = – υ_n1 + u₁. (7)

Тогда закон сохранения импульса относительно земли запишем следующим образом (и учтем уравнения (1)-(2), (7)):
\[\begin{array}{c} {0=m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} +\left(M+m_{2} \right)\cdot \vec{\upsilon }_{n1} ,} \\ {0X:\; \; \; 0=m_{1} \cdot \upsilon _{1x} -\left(M+m_{2} \right)\cdot \upsilon _{n1} ,} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {0=m\cdot \left(-\upsilon _{n1} +u\right)-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} ,} \\ {-m\cdot \upsilon _{n1} +m\cdot u-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =0,} \end{array}\]
\[ \upsilon _{n1} =\frac{m}{M+2m} \cdot u. \;\;\; (8 )\]
После этого второй пассажир начинает бежать в ту же сторону. Тогда платформа будет двигаться со скоростью υ_n2 (теперь общий импульс системы не будет равен нулю, т.к. система платформа-второй пассажир уже двигалась). Скорость второго пассажира относительно земли υ₂ будет равна (рис. 3, б)

υ_2x = – υ_n2 + u₂. (9)

Тогда закон сохранения импульса относительно земли запишем следующим образом (и учтем уравнения (1)-(2), (8 )-(9)):
\[\begin{array}{c} {\left(M+m\right)\cdot \vec{\upsilon }_{n1} =m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} +M\cdot \vec{\upsilon }_{n2} ,} \\ {0X:\; \; \; -\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =m_{2} \cdot \upsilon _{2x} -M\cdot \upsilon _{n2} ,} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =m\cdot \left(-\upsilon _{n2} +u\right)-M\cdot \upsilon _{n2} ,} \\ {-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =-m\cdot \upsilon _{n2} +m\cdot u-M\cdot \upsilon _{n2} ,} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{n2} =\frac{m\cdot u+\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} }{M+m} =\frac{m\cdot u}{M+m} +\upsilon _{n1} =\frac{m\cdot u}{M+m} +\frac{m}{M+2m} \cdot u=} \\ {=\frac{M+2m+M+m}{\left(M+m\right)\cdot \left(M+2m\right)} \cdot m\cdot u=\frac{2M+3m}{\left(M+m\right)\cdot \left(M+2m\right)} \cdot m\cdot u.} \end{array}\]
С такой же скоростью платформа будет продолжать двигаться и после того, как пассажир спрыгнут с нее, т.е.
υ_n = υ_n2 = 2,2 м/с.

г) Предположим, что первый пассажир начал бежать вправо. Тогда платформа (вместе со вторым пассажиром) должна двигаться в противоположном направлении со скоростью υ_n1 так, чтобы общий импульс системы был равен нулю. Скорость первого пассажира относительно земли υ₁ будет равна
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{2} +\vec{\upsilon }_{1/2} ,\]
где υ₂ = υ_n1 — скорость платформы, υ_1/2 = u₁ — скорость пассажира относительно платформы. Из проекции на ось 0X (рис. 4, а) получаем:

υ_1x = – υ_n1 + u₁. (10)

Тогда закон сохранения импульса относительно земли запишем следующим образом (и учтем уравнения (1)-(2), (10)):
\[\begin{array}{c} {0=m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} +\left(M+m_{2} \right)\cdot \vec{\upsilon }_{n1} ,} \\ {0X:\; \; \; 0=m_{1} \cdot \upsilon _{1x} -\left(M+m_{2} \right)\cdot \upsilon _{n1} ,} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {0=m\cdot \left(-\upsilon _{n1} +u\right)-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} ,} \\ {-m\cdot \upsilon _{n1} +m\cdot u-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =0,} \end{array}\]
\[ \upsilon _{n1} =\frac{m}{M+2m} \cdot u. \;\;\; (11) \]
После этого второй пассажир начинает бежать в противоположную сторону. Тогда платформа будет двигаться со скоростью υ_n2 (теперь общий импульс системы не будет равен нулю, т.к. система платформа-второй пассажир уже двигалась). Скорость второго пассажира относительно земли υ₂ будет равна (рис. 4, б)

υ_2x = υ_n2x – u₂. (12)

Тогда закон сохранения импульса относительно земли запишем следующим образом (и учтем уравнения (1)-(2), (11)-(12)):
\[\begin{array}{c} {\left(M+m\right)\cdot \vec{\upsilon }_{n1} =m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} +M\cdot \vec{\upsilon }_{n2} ,} \\ {0X:\; \; \; -\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =m_{2} \cdot \upsilon _{2x} +M\cdot \upsilon _{n2x} ,} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =m\cdot \left(\upsilon _{n2x} -u\right)+M\cdot \upsilon _{n2x} ,} \\ {-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} =m\cdot \upsilon _{n2x} -m\cdot u+M\cdot \upsilon _{n2x} ,} \end{array}\]
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{n2x} =\frac{m\cdot u-\left(M+m\right)\cdot \upsilon _{n1} }{M+m} =\frac{m\cdot u}{M+m} -\upsilon _{n1} =\frac{m\cdot u}{M+m} -\frac{m}{M+2m} \cdot u=} \\ {=\frac{M+2m-\left(M+m\right)}{\left(M+m\right)\cdot \left(M+2m\right)} \cdot m\cdot u=\frac{m^{2} \cdot u}{\left(M+m\right)\cdot \left(M+2m\right)} .} \end{array}\]
С такой же скоростью платформа будет продолжать двигаться и после того, как пассажир спрыгнут с нее, т.е.
υ_n = υ_n2 = 0,2 м/с. Так как υ_n2x > 0, то платформа станет двигаться вправо.