Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.

[Kivir]

475. Найти удельную теплоёмкость одноатомного идеального газа в изобарном c_p и изохорном c_v процессах. Молярная масса газа равна М, универсальная газовая постоянная равна R.
Решение: для определения удельных теплоёмкостей газа воспользуемся первым законом термодинамики.
\[ Q=\Delta U+A. \]
Здесь Q – количество теплоты, переданное газу, ΔU – изменение его внутренней энергии, A – работа газа против внешних сил.
Рассмотрим изохорный процесс. Объём газа не меняется, следовательно, газ не совершает работы (A = 0), т.к. газ совершает работу только в процессе изменения своего объёма. Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа зависит от температуры в начальном и конечном состояниях газа, и не зависит от характера процесса. Пусть масса газа равна m, температура газа изменилась на ΔT, газ одноатомный, тогда:
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T. \]
Количество теплоты, полученное газом в изохорном процессе, определим через удельную теплоёмкость, массу и изменение температуры:
\[ Q=c_{v} \cdot m\cdot \Delta T. \]
Тогда, согласно первого начала термодинамики, получим:
\[ \begin{array}{l} {c_{v} \cdot m\cdot \Delta T=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T+0,} \\ {c_{v} =\frac{3}{2} \cdot \frac{R}{M} .} \end{array} \]
Рассмотрим изобарный процесс. Работу газа при изобарном процессе можно определить, зная его массу, молярную массу и изменение температуры (при выводе формулы, воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева):
\[ \begin{array}{l} {A=p\cdot \Delta V=p\cdot \left(V_{2} -V_{1} \right)=p\cdot V_{2} -p\cdot V_{1} =\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{2} -\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {A=\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, снова определим через удельную теплоёмкость, массу и изменение температуры:
\[ Q=c_{p} \cdot m\cdot \Delta T. \]
Тогда первый закон термодинамики:
\[ \begin{array}{l} {c_{p} \cdot m\cdot \Delta T=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T+\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T,} \\ {c_{p} =\frac{3}{2} \cdot \frac{R}{M} +\frac{R}{M} =\frac{5}{2} \cdot \frac{R}{M} .} \end{array} \]
Ответ: \( c_{p} =\frac{5}{2} \cdot \frac{R}{M} ,c_{v} =\frac{3}{2} \cdot \frac{R}{M} \)

[Kivir]

476. При изотермическом расширении идеальный газ совершил работу A = 25 Дж. Какое количество теплоты сообщено газу?
Решение: запишем первый закон термодинамики:

Q =ΔU+A.

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа зависит от температуры в начальном и конечном состояниях газа его массы и молярной массы. По условию – процесс изотермический, т.е. температура газа неизменна, изменение температуры равно нулю (ΔT = 0) и следовательно, изменение внутренней энергии, также, равно нулю (ΔU = 0). Тогда:

Q = A.

Ответ: 25 Дж.

[Kivir]

477. При адиабатическом сжатии одноатомного идеального газа была совершена работа A = 900 Дж и температура газа увеличилась на ΔT = 24 К. Определить количество вещества этого газа. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙К).
Решение: запишем первый закон термодинамики:

ΔU = Q +A.

Здесь A – работа, совершённая над газом внешними силами (дана в условии). Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа зависит от температуры в начальном и конечном состояниях газа его массы и молярной массы. Пусть масса газа равна m, температура газа изменилась на ΔT, газ одноатомный, тогда:
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T. \]
По условию – процесс адиабатический, это процесс без теплообмена т.е. количество теплоты равно нулю (Q = 0). Тогда из первого закона, имеем:
\[ \begin{array}{l} {\Delta U=A,} \\ {\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T=A,} \\ {\nu =\frac{2\cdot A}{3\cdot R\cdot \Delta T} .} \end{array} \]
Ответ: 2 моль.

[Kivir]

480. Гелий массой m = 10 г нагрели на ΔT = 100 К при постоянном давлении. Определить количество теплоты, переданное газу, изменение внутренней энергии и работу газа при расширении. Молярная масса гелия M = 4∙10^-3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙К).
Решение: определим изменение внутренней энергии гелия. Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа (а гелий является одноатомным газом) зависит от изменения температуры, массы газа и его молярной массы.
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T. \]
Работа газа при изобарном процессе можно определить, зная его массу, молярную массу и изменение температуры (при выводе формулы, воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева для двух состояний):
\[ \begin{array}{l} {A=p\cdot \Delta V=p\cdot \left(V_{2} -V_{1} \right)=p\cdot V_{2} -p\cdot V_{1} =\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{2} -\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {A=\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Количество теплоты, переданное газу, определим из первого закона термодинамики:
\[ \begin{array}{l} {Q=\Delta U+A,} \\ {Q=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T+\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T=\frac{5}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Ответ: ΔU = 3 кДж, А = 2 кДж, Q = 5 кДж.

[Kivir]

481. Газ, занимающий при давлении p = 1∙10⁵ Па объём V  = 0,1 м³, изобарно расширяется. При этом его термодинамическая температура увеличивается в n = 2 раза, а внутренняя энергия изменяется на ΔU = 26 кДж. Найти массу угля, который необходимо сжечь для этого, если на нагревание газа затрачивается η = 0,2 количества теплоты, выделяющегося при сгорании. Удельная теплота сгорания угля q = 30 МДж/кг.
Решение: изобарный процесс (p = p₁ = p₂ = const). По условию температура газа увеличилась в n раз, т.е. T[sub]2[/sub] = n∙T₁. Воспользуемся уравнением Клапейрона, записав его для двух состояний:
\[ \begin{array}{l} {\frac{p_{1} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{T_{2} } ,\frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{n\cdot T_{1} } ,} \\ {V_{2} =n\cdot V_{1} =n\cdot V.} \end{array} \]
Для определения количества теплоты, необходимого для нагревания газа, воспользуемся первым законом термодинамики.
\[ Q=\Delta U+A. \]
Здесь Q – количество теплоты, переданное газу, ΔU – изменение его внутренней энергии, A – работа газа против внешних сил. Работу газа при изобарном процессе
\[ A=p\cdot \Delta V=p\cdot \left(V_{2} -V_{1} \right)=p\cdot \left(n\cdot V_{1} -V_{1} \right)=p\cdot V\cdot \left(n-1\right). \]
Тогда количество теплоты, полученное газом:
\[ Q=\Delta U+p\cdot V\cdot \left(n-1\right). \]
По условию на нагрев идет только η теплоты от сгорания угля, т.е.
\[ Q=\eta \cdot Q_{y} =\eta \cdot q\cdot m. \]
Здесь q – удельная теплота сгорания топлива, m  - искомая масса угля. Приравняем полученные выражения для количества теплоты и выразим массу:
\[ \begin{array}{l} {\Delta U+p\cdot V\cdot \left(n-1\right)=\eta \cdot q\cdot m,} \\ {m=\frac{\Delta U+p\cdot V\cdot \left(n-1\right)}{\eta \cdot q}.} \end{array} \]
Ответ: 6∙10^-3 кг

[Kivir]

483. На рис. 144 изображён график процесса, проводимого с идеальным газом. Объём газа постоянен. Найти точки, в которых масса газа максимальна и минимальна.
Решение: Объём газа постоянен (V = const). Пусть масса газа неизменна, тогда это изохорный процесс. Из уравнения Клапейрона-Менделеева получим зависимость давления газа от температуры:
\[ \begin{array}{l} {pV=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T,} \\ {p=\frac{m\cdot R}{M\cdot V} \cdot T.} \end{array} \]
Здесь R – универсальная газовая постоянная, M – молярная масса, m – масса газа, T – температура, V – занимаемый объём, p – давление. Получили прямую пропорциональность (в математике, например, функция y=k∙x), с коэффициентом
\[ \begin{array}{l} {c=\frac{m\cdot R}{M\cdot V},} \\ {p=c\cdot T.} \end{array} \]
График этой функции – прямая, исходящая из начала координат. Анализируя величины, входящие в коэффициент пропорциональности, видим, что масса в числителе дроби. Поэтому, чем больше масса газа, тем больше коэффициент пропорциональности, который определяет тангенс угла наклона графика (изохоры) к оси температуры. Т.е. чем больше коэффициент, тем больше угол наклона изохоры к оси температур. Проведём изохоры с наибольшим и наименьшим углами наклона. Точки касания изохор  графика процесса и будут являться точками,  в которых масса газа минимальна и максимальна (см. рис.).

[Kivir]

485. Чтобы принять ванну, необходимо нагреть V = 200 л воды от температуры t₁ = 7 ºC до температуры t₂ = 47 ºC. Если такое количество теплоты сообщить идеальной тепловой машине, работающей при температуре нагревателя t₂ и холодильника t₁, то с помощью этой машины можно поднять груз массой m = 4,2∙10⁴ кг на высоту H = 10 м. Определить по этим данным удельную теплоёмкость воды. Плотность воды ρ = 1∙10³ кг/м³. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².
Решение: с одной стороны, количество теплоты, необходимое для нагрева:
\[ Q=c\cdot m_{v} \cdot \Delta t=c\cdot \rho \cdot V\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Здесь с – искомая удельная теплоёмкость воды, m_v = ρ∙V – масса воды, T₁ = 280 К, T₂ = 320 К – начальная и конечная температуры воды по Кельвину. 
С другой стороны, количество теплоты, определим из коэффициента полезного действия идеальной тепловой машины:
\[ \begin{array}{l} {\eta =\frac{T_{2} -T_{1} }{T_{2} } =\frac{A}{Q} ,} \\ {Q=A\cdot \frac{T_{2} }{T_{2} -T_{1}}.} \end{array} \]
Полезная работа A тепловой машины заключается в поднятии грузу массой m на высоту H. Тогда работа A равна изменению потенциальной энергии груза, имеем:
\[ \begin{array}{l} {A=m\cdot g\cdot H,} \\ {Q=m\cdot g\cdot H\cdot \frac{T_{2} }{T_{2} -T_{1}}.} \end{array} \]
Приравняв полученные выражения для количества теплоты, выразим удельную теплоёмкость воды:
\[ c=\frac{m\cdot g\cdot H\cdot T_{2} }{\rho \cdot V\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)^{2}}. \]
Ответ: 4200 Дж/(кг∙К).

[Kivir]

487. При расширении газа тепловая машина совершает работу, при этом объём газа увеличивается от V₁ = 1∙10^-3 м³ до V₂ = 2∙10^-3 м³, а давление линейно убывает от  p₁ = 6∙10⁵ Па до p₂ = 4∙10⁵ Па. Определить изменение внутренней энергии газа при его расширении и КПД тепловой машины, если известно, что количество теплоты, полученное за цикл тепловой машины от нагревателя, Q₁ = 1 кДж, а отданное холодильнику Q₂ = 0,8 кДж.
Решение: изобразим график процесса расширения газа (см. рис.). Изменение внутренней энергии определим из первого закона термодинамики:
\[ \begin{array}{l} {Q=\Delta U+A,} \\ {\Delta U=Q_{1}-A.}\end{array} \]
Т.к. газ расширяется, то именно в этом процессе он получает количество теплоты от нагревателя. Работу газа, в данном случае, удобнее всего определить графически: работа, совершённая газом численно равна площади фигуры под графиком процесса в координатных осях (p,V) – зависимости давления газа от объёма (в нашем случае – площади трапеции):
\[ A=\frac{\left(p_{1} +p_{2} \right)}{2} \cdot \left(V_{2} -V_{1}\right). \]
Тогда изменение внутренней энергии:
\[ \Delta U=Q_{1} -\frac{\left(p_{1} +p_{2} \right)}{2} \cdot \left(V_{2} -V_{1} \right). \]
Коэффициент полезного действия тепловой машины, которая получает от нагревателя количество теплоты Q₁, а отдаёт холодильнику Q₂ равен
\[ \eta =\frac{Q_{1} -Q_{2} }{Q_{1} } \cdot 100\%. \]
Ответ: ΔU = 500 Дж, η = 20%.