отношение вероятностей нахождения электрона

[Антон Огурцевич]

Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале l/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.

[Виктор]

Решение: вероятность нахождения частицы в любой момент времени t в интервале dx
\[ \begin{array}{l} {dW=\left|\psi \left(x\right)\right|^{2} dx,} \\ {\psi \left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{l}} \cdot \sin \frac{\pi \cdot n\cdot x}{l} ,} \end{array} \]
где n – номер уровня (n₁ = 1, n₂ = 2  по условию), ψ(x) – собственная волновая функция частицы, l – ширина ямы. Так как интервал равноудалён от стенок ямы, то пределы интегрирования (см. рис.)
\[ \begin{array}{l} {x_{1} =\frac{l-\Delta l}{2} =\frac{3}{8} l,} \\ {x_{1} =\frac{l+\Delta l}{2} =\frac{5}{8}l.} \end{array} \]
Вероятность нахождения частицы в интервале от x₁  до x₂:
\[ \begin{array}{l} {W=\int dW =\int \left|\psi \left(x\right)\right|^{2} dx ,{\rm \; \; \; \; }W=\int _{x_{1}}^{x_{2} }\left|\sqrt{\frac{2}{l} } \cdot \sin \frac{\pi \cdot n\cdot x}{l} \right|^{2} dx ,} \\ {W=\frac{2}{l} \cdot \int _{x_{1} }^{x_{2}}\sin ^{2} \frac{\pi \cdot n\cdot x}{l} dx =\frac{1}{l} \cdot \int _{x_{1} }^{x_{2} }\left(1-\cos \frac{2\pi \cdot n\cdot x}{l} \right)dx ,} \\ {W=\frac{1}{l} \cdot \int _{x_{1} }^{x_{2} }dx-\frac{1}{l} \cdot \int _{x_{1} }^{x_{2} }\cos \frac{2\pi \cdot n\cdot x}{l} dx  =\frac{1}{l} \cdot \left(x_{2} -x_{1} \right)-\frac{1}{l} \cdot \frac{l}{2\pi \cdot n} \left(\sin \frac{2\pi \cdot n\cdot x_{2}}{l} -\sin \frac{2\pi \cdot n\cdot x_{1} }{l} \right),} \\ {W=\frac{1}{l} \cdot \left(\frac{5\cdot l}{8} -\frac{3\cdot l}{8} \right)-\frac{1}{2\pi \cdot n} \cdot \left(\sin \frac{2\pi \cdot n\cdot 5l}{l\cdot 8} -\sin \frac{2\pi \cdot n\cdot 3l}{l\cdot 8} \right),} \\ {W=\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi \cdot n} \cdot \left(\sin \frac{5\pi \cdot n}{4} -\sin \frac{3\pi \cdot n}{4} \right).} \end{array} \]
Таким образом, отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях
\[ \begin{array}{l} {\frac{W_{1}}{W_{2}} =\frac{\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi} \cdot \left(\sin \frac{5\pi}{4} -\sin \frac{3\pi}{4} \right)}{\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi \cdot n} \cdot \left(\sin \frac{5\pi}{2} -\sin \frac{3\pi }{2} \right)} =\frac{\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2} }{2} \right)}{\frac{1}{4} -\frac{1}{4\pi } \cdot \left(1-\left(-1\right)\right)},} \\ {\frac{W_{1} }{W_{2}} =\frac{\frac{1}{4} +\frac{\sqrt{2}}{2\pi } }{\frac{1}{4} -\frac{1}{2\pi}} =\frac{\pi +2\sqrt{2}}{\pi -2} =5,22955=5,23.} \end{array} \]
Ответ: 5,23.