Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

808. Катушка индуктивности, конденсатор и проводник с активным сопротивлением соединены последовательно. Действующие значения напряжения на них – соответственно U_L = 15В, U_C = 10В, U_R = 12 В. Чему равно действующее напряжение на всём участке.
Решение: учитывая, что на активном сопротивлении колебания силы тока совпадают, на емкостном опережают, на индуктивном отстают от колебаний напряжения, то действующее значение напряжения в цепи можно выразить через значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм. (см. рис.)
По теореме Пифагора
\[ U=\sqrt{U_{R}^{2} +\left(U_{L} -U_{C} \right)^{2}}. \]
Ответ: 13 В.

[Kivir]

809. Лампочку для карманного фонаря, рассчитанную на напряжение U₁ = 3,5 В и силу тока I = 0,28 А, и конденсатор соединили последовательно (рис. 251) и включили в сеть переменного тока с действующим значением напряжения U₂ = 220 В. И частотой ν = 50 Гц. Какой должна быть ёмкость конденсатора, чтобы накал лампочки был нормальным.
Решение: т.к. накал лампочки должен быть нормальным, то напряжение на ней должно быть U₁ и ток через неё (и конденсатор, а также общий ток в цепи, т.к. соединение последовательное) должен быть I. Воспользуемся законом Ома для действующих значений тока и напряжения. Для лампочки
\[ I=\frac{U_{1} }{R} ,R=\frac{U_{1}}{I}. \]
Здесь R – сопротивление лампочки. Закон Ома для всей цепи
\[ I=\frac{U_{2} }{Z} =\frac{U_{2}}{\sqrt{R^{2} +X_{C}^{2}}}. \]
здесь Z  - полное сопротивление, X_C – ёмкостное сопротивление конденсатора, которое определяется по формуле
\[ X_{C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Подставим значения для R и X_C  в закон Ома и выразим ёмкость
\[ \begin{array}{l} {I=\frac{U_{2} }{\sqrt{\frac{U_{1}^{2} }{I^{2} } +\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C^{2} } } } ,} \\ {\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C^{2} } =\frac{U_{2}^{2} }{I^{2} } -\frac{U_{1}^{2} }{I^{2} } ,} \\ {C=\frac{I}{2\pi \cdot \nu } \cdot \sqrt{\frac{1}{U_{2}^{2} -U_{1}^{2}}}.} \end{array} \]
Ответ: 4 мкФ.

[Kivir]

810. Электрическая печь, сопротивление которой R= 20 Ом, подключена к сети переменного тока. Найти количество теплоты, выделяемое печью за время t = 2 ч, если амплитуда силы тока I_m = 10 A.
Решение: количество теплоты, выделяемое проводником, активное сопротивление которого R, при прохождении по нему тока с действующим значением I = I_m / √2, в течение времени t можно найти по закону Джоуля – Ленца
\[ Q=I^{2} \cdot R\cdot t=\frac{I_{m}^{2} }{2} \cdot R\cdot t.  \]
Ответ:   7,2 МДж

[Kivir]

811. В сеть переменного тока с частотой ν = 50 Гц включили электроплитку, а затем последовательно с ней подключили катушку, вследствие чего мощность плитки уменьшилась в n = 3 раза. Рабочее сопротивление плитки R₁ = 60 Ом. Найти индуктивность катушки. Активное сопротивление катушки R₂ = 2 Ом.
Решение: в первый раз в сеть была включена только плитка, поэтому полное сопротивление цепи равно активному сопротивлению плитки R₁. ток в цепи I₁. Силу тока определим по закону Ома, тогда мощность плитки
\[ P_{1} =I_{1}^{2} \cdot R_{1} =\left(\frac{U}{Z_{1} } \right)^{2} \cdot R_{1} =\frac{U^{2} }{R_{1}^{2} } \cdot R_{1} =\frac{U^{2} }{R_{1}}. \]
Здесь U – действующее напряжение в сети переменного тока.
Во второй раз в цепи появилась катушка, поэтому полное сопротивление цепи изменилось (добавилось активное сопротивление катушки R₂ и индуктивное X_L = 2π∙ν∙L), сила тока изменилась и мощность в этом случае
\[ P_{2} =I_{2}^{2} \cdot R_{1} =\left(\frac{U}{Z_{2} } \right)^{2} \cdot R_{1} =\frac{U^{2} \cdot R_{1} }{\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} +\left(2\pi \nu L\right)^{2}}. \]
По условию задачи, мощность плитки уменьшилась в n раз, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\frac{P_{1} }{P_{2} } =n,} \\ {\frac{U^{2} }{R_{1} } \cdot \frac{\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} +\left(2\pi \cdot \nu \cdot L\right)^{2} }{U^{2} \cdot R_{1} } =n,} \\ {n\cdot R_{1}^{2} =\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2} +\left(2\pi \cdot \nu \cdot L\right)^{2} ,} \\ {L=\frac{1}{2\pi \cdot \nu } \cdot \sqrt{n\cdot R_{1}^{2} -\left(R_{1} +R_{2} \right)^{2}}.} \end{array}  \]
Ответ: 0,3 Гн.

[Kivir]

812. К электрической цепи подведено переменное напряжение u = 180 ∙ sin ωt В. Амперметр, включённый в эту цепь, показывает силу тока I = 1,4 А. Определить коэффициент мощности цепи, если она потребляет мощность P = 144 Вт.
Решение: мощность переменного тока определяется по формуле
\[ P=I\cdot U\cdot \cos \phi, \]
где I – действующее значение силы тока (показывает амперметр), U = U_m / √2 – действующее значение напряжения, U_m – амплитудное значение напряжения – коэффициент перед синусом в уравнении для мгновенного значения напряжения u, т.е. U_m = 180 В, cosφ – искомый коэффициент мощности цепи.
\[ \begin{array}{l} {P=I\cdot \frac{180}{\sqrt{2} } \cdot \cos \phi ,} \\ {\cos \phi =\frac{P\cdot \sqrt{2} }{180\cdot I} \cdot } \end{array} \]
Ответ: 0,8.

[Kivir]

813. При подключении первичной обмотки трансформатора к источнику переменного синусоидального напряжения во вторичной обмотке возникает ЭДС E₁ = 16 В. Если к тому же источнику подключить вторичную обмотку, то в первичной возникает ЭДС E = 4 В. Найти напряжение источника. Потери энергии в трансформаторе не учитывать.
Решение: пусть n₁ – число витков в первичной обмотке, n₂ – число витков во вторичной обмотке трансформатора, U – действующее значение напряжения источника. Трансформатор идеальный (потерь нет) и работает в режиме холостого хода, тогда используя понятие коэффициента трансформации, составим систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{U}{E_{1} } =\frac{n_{1} }{n_{2} } ,} \\ {\frac{U}{E_{2} } =\frac{n_{2} }{n_{1}}.} \end{array}\right. \]
Перемножив уравнения, определим напряжение
\[ \begin{array}{l} {\frac{U^{2} }{E_{1} \cdot E_{2} } =1,} \\ {U=\sqrt{E_{1} \cdot E_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 8 В.

[Kivir]

815. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом  трансформации k = 10 включена в сеть с напряжением U₁ = 220 В. Сопротивление вторичной обмотки r = 0,5 Ом, ток во вторичной обмотке I = 4 А. Определить напряжение U₂ на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной обмотке пренебречь.
Решение: коэффициент трансформации
\[ k=\frac{U_{1} }{U} ,U=\frac{U_{1}}{k}, \]
здесь U – напряжение, которое было бы на выходе трансформатора (на вторичной обмотке, на нагрузке), если бы вторичная обмотка трансформатора не имела сопротивления r (или если бы оно было столь малым, что им можно было бы пренебречь). Но из-за наличия у вторичной обмотки сопротивления r на нагрузку «пойдёт» меньшее напряжение U₂, поскольку на сопротивлении r будут иметь место потери напряжения ΔU из-за потерь энергии на джоулево тепло (нагревание проводника). Поэтому на нагрузке (на зажимах вторичной обмотки) напряжение U₂ будет меньше напряжения U на величину этих потерь ΔU:
\[ U_{2} =U-\Delta U. \]
Потерю напряжения ΔU на сопротивлении r найдём, воспользовавшись законом Ома для участка цепи сопротивлением r, по которому течёт ток I:
\[ I=\frac{\Delta U}{r} ,\Delta U=I\cdot r. \]
Таким образом, напряжение на вторичной обмотке будет равно
\[ U_{2} =\frac{U_{1} }{k} -I\cdot r. \]
Ответ: 20 В.

[Kivir]

816. Электроэнергия передаётся от генератора к потребителю по проводам, общее сопротивление которых R₁ = 400 Ом. Коэффициент полезного действия линии передачи η = 0,95. Определить сопротивление нагрузки, если внутреннее сопротивление генератора r = 100 Ом.
Решение: сила тока во всей последовательной линии электропередачи одинакова. Пусть она равна I. Тогда полезная мощность, которая выделяется на нагрузке сопротивлением R₂, будет равна
\[ P_{2} =I^{2} \cdot R_{2}. \]
Мощность, потребляемая всей цепью (затраченная), имеющей полное сопротивление, равное сумме сопротивлений нагрузки, проводов и внутреннего сопротивления генератора, будет равна
\[ P=I^{2} \cdot \left(R_{1} +R_{2} +r\right). \]
Коэффициент полезного действия η – это отношение полезной мощности к затраченной т.е.
\[ \eta =\frac{I^{2} \cdot R_{2} }{I^{2} \cdot \left(R_{1} +R_{2} +r\right)} =\frac{R_{2} }{R_{1} +R_{2} +r}. \]
Откуда искомое сопротивление нагрузки
\[ R_{2} =\frac{\eta }{1-\eta } \cdot \left(R_{1} +r\right). \]
Ответ: 9,5 кОм.

[Kivir]

817. При передаче электроэнергии на большое расстояние используется трансформатор, повышающий напряжение до U = 6 ∙ 10³ В и нагруженный до номинальной мощности P = 10⁶ Вт. При этом разность показаний счётчиков электроэнергии, установленных на трансформаторной подстанции и в приёмном пункте, увеличивается ежесуточно (t = 24 ч) на ΔW = 216 кВт ∙ ч. Во сколько раз необходимо повысить напряжение в линии, чтобы при передаче потери энергии не превышали η = 0,1%?
Решение:  начальная ситуация. Сила тока в линии I, которую легко определить, зная напряжение U  и мощность P.
\[ I=\frac{P}{U}. \]
Пусть сопротивление проводов линии электропередачи равно R, тогда потери мощности на их сопротивлении будут равны, с одной стороны
\[ \Delta P=I^{2} \cdot R, \]
с дугой стороны, потери можно определить, зная разность в показаниях электросчётчиков на подстанции и приёмном пункте т.е.
\[ \Delta P=\frac{\Delta W}{t}. \]
Тогда приравняв и подставив выражение для силы тока, определим сопротивление линии электропередачи
\[ \begin{array}{l} {\left(\frac{P}{U} \right)^{2} \cdot R=\frac{\Delta W}{t} ,} \\ {R=\frac{\Delta W\cdot U^{2} }{P^{2} \cdot t}.} \end{array} \]
Ситуация вторая. Напряжение повысили до значения U₁. Т.к. трансформатор работает на номинальной мощности, это приведёт к уменьшению силы тока в линии до значения I₁, а следовательно и уменьшаться потери. По условию задачи потери должны составить
\[ \Delta P_{1} =\frac{\eta }{100\% } \cdot P, \]
здесь P = I₁ ∙ U₁.
С другой стороны, потери
\[ \Delta P_{1} =I_{1}^{2} \cdot R. \]
Приравняем, подставим силу тока I₁ (из формулы мощности) и полученное ранее выражение для сопротивления линии R, выразим искомое отношение U₁ к U
\[ \begin{array}{l} {\frac{\eta }{100\% } \cdot P=\left(\frac{P}{U_{1} } \right)^{2} \cdot \frac{\Delta W\cdot U^{2} }{P^{2} \cdot t} .} \\ {\frac{U_{1} }{U} =\sqrt{\frac{\Delta W\cdot 100\% }{\eta \cdot P\cdot t} }.} \end{array} \]
Ответ: в 3 раза.