Линзы из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

887. Найти построением изображение светящейся точки S в оптической системе двух тонких линз – рассеивающей и собирающей (рис. 280). Фокусы обеих линз заданы.
Решение: Для построения изображения нужно два луча. Первый луч направим вдоль главной оптической оси линз. Второй - произвольный луч из S на рассеивающую линзу. Для построения дальнейшего хода луча, проведём побочную оптическую ось F₁´O₁. Луч, идущий к линзе параллельно оптической оси, далее пойдёт через фокус (в нашем случае продолжение луча должно пройти через побочный фокус F₁´рассеивающей линзы). Для построения хода луча после собирающей, проведём побочную ось F₂´O₂ и луч пройдёт через побочный фокус F₂´.
На пересечении луча с главной оптической осью (первый луч) и будет находиться изображение источника S´. (см. рис.)

[alsak]

888. Две собирающие линзы, фокусные расстояния которых F₁ = 12 см и F₂ = 15 см расположены так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между линзами l = 36 см. Предмет находится на расстоянии d₁ = 48 см от первой линзы. На каком расстоянии от второй линзы получится изображение предмета?
Решение: из формулы тонкой линзы найдём расстояние f₁ от первой линзы до изображения предмета, которое даёт эта линза
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1}} ,} \\ {f_{1} =\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1}}.} \end{array} \]
После подстановки данных, получим f₁ = 16 см. Сравнив f₁ и l видим, что изображение будет расположено между линзами на расстоянии d₂ = l – f₁ от второй линзы. Это изображение является предметом для второй линзы. Из формулы линзы, записанной для второго случая, найдём расстояние от второй линзы до изображения  (подставим d₂)
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F_{2} } =\frac{1}{d_{2}} +\frac{1}{f_{2}},} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-f_{1} \right)}{\left(l-f_{1} \right)-F_{2}}.} \end{array} \]
После подстановки в эту формулу выражения для f₁ , полученного ранее и проведя  математические преобразования, получим
\[ \begin{array}{l} {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } \right)}{\left(l-\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } \right)-F_{2} } =\frac{F_{2} \cdot l\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} \cdot F_{2} }{l\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} -F_{2} \cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)} ,} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l\cdot d_{1} -l\cdot F_{1} -d_{1} \cdot F_{1} \right)}{\left(l-F_{2} \right)\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 60 см.

[alsak]

889. Источник света находится на расстоянии d₁ = 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F₁ = 20 см. По другую сторону линзы на расстоянии l = 40 см расположена рассеивающая линза с фокусным расстоянием F₂ = 12 см. На каком расстоянии от рассеивающей линзы находится изображение источника?
Решение: из формулы тонкой линзы найдём расстояние  f₁ от собирающей линзы до изображения источника в этой линзе
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } ,} \\ {f_{1} =\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1}}.} \end{array} \]
После подстановки данных, получим f₁ = 60 см. Сравнив f₁ и l  видим, что изображение будет расположено за рассеивающей линзой на расстоянии d₂ = f₁ – l. Это изображение является предметом для рассеивающей линзы и этот предмет мнимый. Из формулы линзы, записанной для второго случая (для рассеивающей, с учтём правила знаков) найдём расстояние от рассеивающей линзы до изображения  (подставим d₂)
\[ \begin{array}{l} {-\frac{1}{F_{2} } =-\frac{1}{d_{2} } -\frac{1}{f_{2} } ,} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-f_{1} \right)}{F_{2} -\left(f_{1} -l\right)}.} \end{array} \]
После подстановки в эту формулу выражения для f₁ , полученного ранее и проведя  математические преобразования, получим
\[ \begin{array}{l} {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l-\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } \right)}{F_{2} -\left(\frac{d_{1} \cdot F_{1} }{d_{1} -F_{1} } -l\right)} =\frac{l\cdot F_{2} \cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} \cdot F_{2} }{F_{2} \cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1} +l\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)} ,} \\ {f_{2} =\frac{F_{2} \cdot \left(l\cdot d_{1} -l\cdot F_{1} -d_{1} \cdot F_{1} \right)}{\left(F_{2} +l\right)\cdot \left(d_{1} -F_{1} \right)-d_{1} \cdot F_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 30 см.

[alsak]

890. Дальнозоркий человек начинает резко различать очертания предметов с расстояния d = 1 м. Найти оптическую силу очков, которые нужны этому человеку, чтобы он мог чётко видеть предметы с расстояния наилучшего  видения d₀ = 25 см.
Решение: применим к глазу формулу тонкой линзы
\[ D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f}, \]
где f – расстояние от оптического центра глаза до сетчатки, D – оптическая сила глаза. Чтобы восполнить недостаток зрения, человеку нужны очки с линзой такой оптической силы D₀, чтобы лучи, падающие от точек, удалённых на расстоянии d₀ фокусировались системой «очки – глаз» на сетчатке. Следовательно (учтём, что оптические силы системы линз суммируются)
\[ D+D_{0} =\frac{1}{d_{0} } +\frac{1}{f}. \]
Вычитая из второго уравнения первое, получим
\[ D_{0} =\frac{1}{d_{0} } -\frac{1}{d} =\frac{d-d_{0} }{d\cdot d_{0}}. \]
Ответ: 3 дптр.

[alsak]

891. С самолёта, летевшего на высоте h = 2000 м, проводилось фотографирование местности с помощью аэрофотоаппарата, объектив которого имеет фокусное расстояние F = 0,5 м. Каков масштаб полученных снимков?
Решение: масштаб полученных снимков будет равен увеличению объектива фотоаппарата Γ. В нашем случае: h – расстояние от предмета до объектива, f – расстояние от объектива до изображения, тогда используя формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы, получим
\[ \begin{array}{l} {\Gamma =\frac{f}{h} ,{\rm \; \; \; }f=\Gamma \cdot h,} \\ {\frac{1}{F} =\frac{1}{h} +\frac{1}{f} =\frac{1}{h} +\frac{1}{\Gamma \cdot h} ,} \\ {\frac{1}{\Gamma \cdot h} =\frac{1}{F} -\frac{1}{h} =\frac{h-F}{h\cdot F} ,} \\ {\Gamma =\frac{F}{h-F} .} \end{array} \]
Ответ: 1: 3999 ≈ 1: 4000.

[alsak]

892. При фотографировании предмета с расстояния d₁ = 15 м, высота его изображения на фотоплёнке h₁ = 30 мм, а при фотографировании с расстояния d₂ = 9 м – h₂ = 51 мм. Найти фокусное расстояние объектива фотоаппарата.
Решение: пусть F – фокусное расстояние объектива, h – высота предмета, f₁– расстояние от объектива до изображения на фотоплёнке в первом случае , f₂ – расстояние от объектива до изображения во втором случае (расстояние изменилось т.к. при фотографировании с другого положения производилась настройка резкости). Воспользуемся формулой увеличения линзы и выразим из неё расстояние от объектива до изображения
\[ \begin{array}{l} {\frac{f_{1} }{d_{1} } =\frac{h_{1} }{h} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{f_{1} } =\frac{h}{h_{1} \cdot d_{1} } ,} \\ {\frac{f_{2} }{d_{2} } =\frac{h_{2} }{h} ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{f_{2} } =\frac{h}{h_{2} \cdot d_{2} } .{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }\left(1\right)} \end{array} \]
Теперь воспользуемся формулой тонкой линзы
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } ,{\rm \; \; \; \; \; }\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{2} } +\frac{1}{f_{2} } ,} \\ {\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{F} -\frac{1}{d_{1} } =\frac{d_{1} -F}{d_{1} \cdot F} ,} \\ {\frac{1}{f_{2} } =\frac{d_{2} -F}{d_{2} \cdot F} .{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\left(2\right)} \end{array} \]
После подстановки (1) в (2), разделим полученные уравнения
\[ \begin{array}{l} {\frac{h}{h_{1} \cdot d_{1} } =\frac{d_{1} -F}{d_{1} \cdot F} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }\frac{h}{h_{2} \cdot d_{2} } =\frac{d_{2} -F}{d_{2} \cdot F} ,} \\ {\frac{h_{2} }{h_{1} } =\frac{d_{1} -F}{d_{2} -F} ,} \\ {h_{2} \cdot d_{2} -h_{2} \cdot F=h_{1} \cdot d_{1} -h_{1} \cdot F,} \\ {F=\frac{h_{2} \cdot d_{2} -h_{1} \cdot d_{1} }{h_{2} -h_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 0,43 ≈ 0,4 м

[alsak]

893. Какое увеличение даёт лупа, имеющая оптическую силу D = 16 дптр? Построить изображение в лупе.
Решение: увеличение лупы с учётом оптической силы D = 1 / F
\[ \Gamma =\frac{d_{0} }{F} =d_{0} \cdot D, \]
здесь d₀ = 25 см – расстояние наилучшего зрения для нормального глаза. При построении изображения учтём, что для рассмотрения предмета лупой, он располагается между фокусом и оптическим центром лупы, при этом получается мнимое, прямое, увеличенное изображение.
Ответ: 4, см. рис.

[alsak]

894. Проекционный аппарат даёт на экране увеличенное в Γ = 20 раз изображение диапозитива. Найти расстояние между объективом проекционного аппарата и изображением, если фокусное расстояние объектива F = 20 см.
Решение: диапозитив помещают вблизи фокальной плоскости объектива на расстоянии, большем его фокусного. В этом случае изображение получается действительное, увеличенное и обратное. Пусть d – расстояние от диапозитива до объектива, f – расстояние от объектива до изображения (экрана). Увеличение составит
\[ \Gamma =\frac{f}{d} ,\frac{1}{d} =\frac{\Gamma }{f}. \]
Из  формулы тонкой линзы получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,\frac{1}{F} =\frac{\Gamma }{f} +\frac{1}{f} ,} \\ {f=F\cdot \left(\Gamma +1\right).} \end{array} \]
Ответ: 4,2 м.

[alsak]

895. Светящаяся точка, находящаяся на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см, движется со скоростью υ = 2 см / с перпендикулярно главной оптической оси. С какой скоростью движется изображение точки?
Решение: т.к. точка находится на расстоянии от линзы, большем фокусного расстояния, но меньше двойного фокусного расстояния, то её изображение будет действительным, обратным, увеличенным. Пусть за время Δt точка пройдёт расстояние l = υ ∙ Δt, перпендикулярно главной оптической оси, тогда изображение точки пройдёт расстояние L = υ₁ ∙ Δt, перпендикулярно оптической оси, где υ₁ - искомая скорость движения изображения (см. рис.). Составим систему уравнений на основании формул тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {\frac{f}{d} =\frac{L}{l} .} \end{array}\right. \]
После подстановки l и L
\[ \begin{array}{l} {f=d\cdot \frac{L}{l} =d\cdot \frac{\upsilon _{1} \cdot \Delta t}{\upsilon \cdot \Delta t} =d\cdot \frac{\upsilon _{1} }{\upsilon } ,} \\ {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{\upsilon }{d\cdot \upsilon _{1} } ,\frac{\upsilon }{\upsilon _{1} } =\frac{d-F}{F} ,} \\ {\upsilon _{1} =\upsilon \cdot \frac{F}{d-F} .} \end{array} \]
Ответ: 4 см / с.

[alsak]

896. Кинокамерой сняли колебания тяжёлого груза, подвешенного на проволоке. Съёмка велась с помощью объектива с фокусным расстоянием F = 5 см. Изображение маятника на плёнке имеет длину l = 20 мм. За время съёмки t = 1 мин маятник совершил N = 24 полных колебания. С какого расстояния (от объектива до маятника) велась съёмка? Маятник считать математическим.
Решение: изображение на плёнке является действительным. Пусть d – расстояние от маятника до объектива, f – расстояние от объектива до изображения на плёнке, l – линейные размеры изображения, L – линейные размеры предмета (длина математического маятника). Составим систему уравнений на основании формул тонкой линзы и линейного увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,} \\ {\frac{f}{d} =\frac{l}{L}.} \end{array}\right. \]
Решим полученную систему относительно расстояния d, например
\[ \begin{array}{l} {f=\frac{l\cdot d}{L} ,} \\ {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{L}{l\cdot d} ,} \\ {d=F\cdot \left(1+\frac{L}{l} \right).} \end{array} \]
Длину математического маятника определим из формулы для расчёта его периода колебаний. Учтём, что время одного колебания (период) можно найти, зная время  и число колебаний, тогда
\[ \begin{array}{l} {T=\frac{t}{N} =2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g} } ,} \\ {L=\frac{g\cdot t^{2} }{4\pi ^{2} \cdot N^{2} } .} \end{array} \]
Подставив полученное значение длины в выражение для d, получим
\[ d=F\cdot \left(1+\frac{g\cdot t^{2} }{4\pi ^{2} \cdot N^{2} \cdot l} \right). \]
Ответ: 4 м.