Световые волны из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

910. Монохроматический свет с длиной волны λ = 600 нм падает нормально на дифракционную решётку с периодом d = 3 мкм. Сколько главных максимумов можно наблюдать в дифракционной картине?
Решение: для определения числа максимумов, даваемых решёткой, определим сначала наибольший порядок максимума k_max. Максимальный угол φ_max отклонения лучей не может превышать 90º. Тогда при sinφ_max = 1 из условия главных максимумов дифракционной решётки
\[ k_{\max } \le \frac{d\cdot \sin \phi _{\max } }{\lambda } \le \frac{d}{\lambda }. \]
Вычислив, получим k_max ≤ 5. НО при k_max = 5 наибольший порядок будет наблюдаться под углом 90º, что в реальности неосуществимо, поэтому  k_max = 4.  Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному k_max. С учётом центрального максимума общее число максимумов

N = 2∙k_max + 1.

Ответ: 9

[alsak]

906. В опыте Юнга щели освещаются монохроматическим светом с длиной волны λ = 600 нм. На сколько нужно изменить длину волны источника, освещающего щели, чтобы при заполнении пространства между экранами В и С (см. рис. 281) водой расстояние между соседними интерференционными максимумами осталось неизменным? Показатель преломления воды n = 1,33.
Решение: пусть в точке М экрана С наблюдается интерференционный максимум под номером k. Запишем условие максимума интерференции

Δ = k∙λ,  (1)

где Δ = L₂ – L₁ – оптическая разность хода лучей. В первом случае между экранами воздух, тогда Δ = l₂ – l₁, т.к. показатель преломления воздуха равен единице. Во втором случае между экранами вода, тогда Δ = n∙(l₂ – l₁). Обозначим через x_k расстояние от точки М до точки О, симметричной относительно щелей. Как видно из рисунка (из прямоугольных треугольников)
\[ \begin{array}{l} {l_{1}^{2} =l^{2} +\left(x_{k} -\frac{d}{2} \right)^{2} ,l_{2}^{2} =l^{2} +\left(x_{k} +\frac{d}{2} \right)^{2} ,} \\ {l_{2}^{2} -l_{1}^{2} =2\cdot x_{k} \cdot d,\left(l_{2} -l_{1} \right)\cdot \left(l_{2} +l_{1} \right)=2\cdot x_{k} \cdot d,} \end{array} \]
здесь d – расстояние между щелями, l – расстояние от щелей до экрана. Учтём, что d << l, поэтому l₂ + l₁ ≈ 2l, тогда
\[ \left(l_{2} -l_{1} \right)=\frac{2\cdot x_{k} \cdot d}{l_{2} +l_{1} } =\frac{x_{k} \cdot d}{l} .{\rm \; \; \; \; \; \; (2)} \]
Пусть во втором случае длина волны света, идущего от экрана В к экрану С (в воде) будет равна λ₂. Таким образом, с учётом равенств (2) и (1) для первой и второй ситуаций, имеем
\[ \begin{array}{l} {\Delta =l_{2} -l_{1} ,k\cdot \lambda =\frac{x_{k} \cdot d}{l} ,x_{k1} =\frac{k\cdot \lambda \cdot d}{l} ,} \\ {\Delta =n\cdot \left(l_{2} -l_{1} \right),k\cdot \lambda _{2} =n\cdot \frac{x_{k} \cdot d}{l} ,x_{k2} =\frac{k\cdot \lambda _{2} \cdot d}{n\cdot l} .} \end{array} \]
Расстояние между соседними интерференционными максимумами
\[ \begin{array}{l} {\Delta x_{1} =x_{k+1} -x_{k} =\frac{\left(k+1\right)\cdot \lambda \cdot d}{l} -\frac{k\cdot \lambda \cdot d}{l} =\frac{\lambda \cdot d}{l} ,} \\ {\Delta x_{2} =\frac{\lambda _{2} \cdot d}{n\cdot l}.} \end{array} \]
 По условию задачи расстояние между максимумами не изменяется, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\Delta x_{1} =\Delta x_{2} ,\frac{\lambda \cdot d}{l} =\frac{\lambda _{2} \cdot d}{n\cdot l} ,} \\ {\lambda _{2} =n\cdot \lambda .} \end{array} \]
Тогда изменение длины волны составит
\[ \Delta \lambda =\lambda _{2} -\lambda =n\cdot \lambda -\lambda =\lambda \cdot \left(n-1\right). \]
Ответ: 198 нм.
Примечание: такой ответ приведён в сборнике. Я считаю, что нужно учесть тот факт, что источник света находится в воздухе, а интерференцию наблюдаем в воде. При переходе света из воздуха в воду (на экране со щелями В), произойдёт изменение длины волны до значения λ₂. Пусть источник излучает свет с длиной волны λ₃, тогда
\[ \lambda _{2} =\frac{\lambda _{3} }{n} ,\lambda _{3} =n\cdot \lambda _{2}. \]
В этом случае изменение длины волны должно быть
\[ \Delta \lambda =\lambda _{3} -\lambda =n\cdot \lambda _{2} -\lambda =n\cdot n\cdot \lambda -\lambda =\lambda \cdot \left(n^{2} -1\right). \]
Ваше мнение по этому примечанию оставляйте в комментариях.

[alsak]

907. В опыте Юнга расстояние между щелями d = 1 мм, а расстояние l от щелей до экрана равно 3 м. Щели освещаются монохроматическим светом с длиной волны λ = 600 нм. На каком расстоянии от центральной светлой полосы находится третья тёмная полоса?
Решение: запишем условие минимума интерференции
\[ \Delta =\left(2k+1\right)\cdot \frac{\lambda }{2}. \]
где Δ = L₂ – L₁ – оптическая разность хода лучей. В нашем случае между экранами воздух, тогда Δ = l₂ – l₁, т.к. показатель преломления воздуха равен единице. Воспользуемся решением задачи №906  - формула (2) - разность хода лучей (см. рис. 281 и решение задачи №906)
\[ \left(l_{2} -l_{1} \right)=\frac{x_{k} \cdot d}{l} .{\rm \; \; \; \; \; \; (2)} \]
Таким образом
\[ \frac{x_{k} \cdot d}{l} =\left(2k+1\right)\cdot \frac{\lambda }{2}. \]
Отсюда искомое расстояние до тёмной полосы x_k
\[ x_{k} =\frac{\left(2k+1\right)\cdot \lambda \cdot l}{2\cdot d}.  \]
Ответ: 6 мм (k = 3)