В дифференциальном вороте используется цепь, погонный метр которой

[vlados92]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста решить задачу.

В дифференциальном вороте, который схематически изображен на рисунке, используется цепь, погонный метр которой содержит N звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет n зубцов, а шкив меньшего диаметра n–1. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза W, отличаются в R раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силы.

[alsak]

Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту груза, находящегося в нижнем положении. Тогда
полная механическая энергия груза в начальном состоянии равна

W₀₁ = 0.

Предположим, что при подъеме верхний блок совершил полный оборот. Так как погонный метр содержит N звеньев, то длина одного звена цепи

l₁ = 1/N (м).

В этом случае перемещение точки приложения силы F₁ (рис. 1) будет

Δr₁ = n⋅l₁ = n/N

(точка приложения этой силы находится на шкиве большего диаметра, в котором n зубцов). Левый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве меньшего диаметра, в котором (n – 1) зубцов) опуститься вниз на

Δl₁ = (n – 1)⋅l₁ = (n – 1)/N,

правый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве большего диаметра) поднимется вверх на

Δl₂ = n⋅l₁ = n/N.

Груз поднимется вверх на высоту
 

\[ h_{1} =\frac{\Delta l_{2} -\Delta l_{1} }{2} =\frac{n-\left(n-1\right)}{2N} =\frac{1}{2N}. \]

Тогда полная механическая энергия груза в конечном состоянии равна
 

\[ W_{1} = m\cdot g\cdot h_{1} =\frac{m\cdot g}{2N}, \]

где m — масса груза.
На груз действуют внешняя сила F₁ и сила трения F_t. Работа силы F₁ равна

A₁ = F₁⋅Δr₁ = F₁⋅n/N,

работу силы трения обозначим A_t. Работа внешних сил равна:

A₁ + A_t = W₁ – W₀₁

или

\[ F_{1} \cdot \frac{n}{N} +A_{t} = \frac{m \cdot g}{2N}. \]  (1)

Продолжение следует

[alsak]

Аналогично получим уравнения для случая, когда груз опускают вниз под действием силы F₂ (рис. 2). Опять верхний блок совершил полный оборот. Перемещение точки приложения силы F₂ будет

Δr₂ = (n – 1)⋅l₁ = (n – 1)/N

(точка приложения этой силы находится на шкиве меньшего диаметра, в котором (n – 1) зубцов). Левый участок цепи с грузом поднимется вверх на

Δl₁ = (n – 1)⋅l₁ = (n – 1)/N,

правый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве большего диаметра) опуститься вниз на

Δl₂ = n⋅l₁ = n/N.

Груз опуститься вниз на высоту
 

\[ h_{2} =h_{1} =\frac{\Delta l_{2} -\Delta l_{1} }{2} =\frac{1}{2N}. \]

Тогда полная механическая энергия груза в начальном состоянии равна
 

\[ W_{02} =m\cdot g\cdot h_{2} =\frac{m\cdot g}{2N}, \]

полная механическая энергия груза в конечном состоянии равна

W₂ = 0.

На груз действуют внешняя сила F₂ и сила трения F_t. Работа силы F₂ равна

A₂ = F₂⋅Δr₂ = F₂⋅(n – 1)/N,

работа силы трения останется прежней A_t. Работа внешних сил равна:

A₂ + A_t = W₂ – W₀₂

или
 

\[ F_{2} \cdot \frac{n-1}{N} +A_{t} =-\frac{m\cdot g}{2N}.\;\;\; (2) \]

По условию силы, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в R раз, т.е.

F₁ = R⋅F₂. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

\[ F_{1} \cdot \frac{n}{N} -F_{2} \cdot \frac{n-1}{N} = \frac{2m\cdot g}{2N}, \; \; \; F_{2} \cdot \left(R\cdot n-\left(n-1\right)\right) = m\cdot g, \]
 
\[ F_{2} = \frac{m\cdot g}{\left(R-1\right)\cdot n+1}, \; \; \; F_{1} = \frac{R\cdot m \cdot g}{\left(R-1\right) \cdot n+1}. \]