ЦТ 2011

[dx/dt]

B7 (1 вариант). К открытому калориметру с водой (L=2,26 МДж/кг) ежесекундно подводили количество теплоты Q=59 Дж. На рисунке представлена зависимость температуры t воды от времени τ. Начальная масса m воды в калориметре равна … г.

Решение

В течение первых пяти минут воду нагревали от какой-то неизвестной температуры до 100⁰С. В последующие 30 минут происходил процесс парообразования, и за это время вся вода, находившаяся в калориметре, превратилась в пар (выкипела).

Рассматривая участок на графике, соответствующий кипению воды, составим пропорцию:

\[ \frac{{{Q}'}}{Q}=\frac{{{\tau }'}}{\tau }, \]

где Q´=Lm – количество теплоты, необходимое для превращения воды, взятой при температуре кипения, в пар; τ´=30 мин – промежуток времени, соответствующий превращению всей воды, взятой при температуре кипения,  в пар; τ=1 с – время, за которое к воде подводится количество теплоты Q=59 Дж.

Имеем

\[ \frac{Lm}{Q}=\frac{{{\tau }'}}{\tau }, \]

откуда

\[ m=\frac{Q{\tau }'}{L\tau }, \]

m=47 г.

Ответ: 47 г.

[dx/dt]

B8 (1 вариант). На точечный заряд q, находящийся в электростатическом поле, созданном зарядами q₁ и q₂, действует сила F (см. рис.). Если заряд q₁=5,1 нКл, то заряд q₂ равен … нКл.

Решение

Покажем на рисунке силы, которые действуют на заряд q со стороны двух других зарядов. Очевидно, что сила F есть равнодействующая сил F₁ и F₂ (смотрите рисунок).

Ось Ох проведем перпендикулярно силе F. Тогда проекция этой силы на ось Ох будет равна нулю, а это значит, что

F_1x+ F_2x=0

или, другими словами, модули проекций двух сил будут одинаковы (для наглядности: длины желтого и красного отрезков равны):

(1):  \[ {{F}_{1}}\cos \angle 1={{F}_{2}}\cos \angle 2. \]

Расстояния между зарядами, а затем и косинусы углов легко находятся по клеточкам:

\[ {{r}_{1}}=2\sqrt{2}, \]

\[ {{r}_{2}}=2\sqrt{5}, \]

(расстояния измеряем «клеточками», это никак не повлияет на ответ);

\[ \cos \angle 1=\frac{1}{\sqrt{2}}, \]

\[ \cos \angle 2=\frac{2}{\sqrt{5}}. \]

Силы взаимодействия электрических зарядов расписываем по закону Кулона:

\[ {{F}_{1}}=k\frac{{{q}_{1}}q}{r_{1}^{2}}, \]

\[ {{F}_{2}}=k\frac{{{q}_{2}}q}{r_{2}^{2}}. \]

Теперь подставляем значения сил, расстояний и косинусов в формулу (1):

\[ k\frac{{{q}_{1}}q}{{{(2\sqrt{2})}^{2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=k\frac{{{q}_{2}}q}{{{(2\sqrt{5})}^{2}}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}, \]

после сокращений и элементарных преобразований получаем

\[ {{q}_{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}{{q}_{1}}=1,25\sqrt{2,5}{{q}_{1}}, \]

q₂=10 нКл.

Ответ: 10 нКл.

[dx/dt]

B9 (1 вариант). Зависимость силы тока I в нихромовом (c=460 Дж/(кг*К)) проводнике, масса которого m=30 г и сопротивление R=1,3 Ом, от времени t имеет вид \( I = B \cdot \sqrt {D \cdot t}, \) где B=0,12 А, D=2,2 с^-1. Если потери энергии в окружающую среду отсутствуют, то через промежуток времени Δt=90 с после замыкания цепи изменение абсолютной температуры ΔT проводника равно … К.

Решение

Мощность электрического тока рассчитывается по формуле

P=I²R.

Подставляя в эту формулу значение силы тока из условия, получаем зависимость мощности от времени:

P(t)=B²DRt.

Итак, мощность тока изменяется по линейному закону, а значит среднее значение мощности за время t:

<P>=B²DRt/2.

Количество теплоты, выделяющееся в проводнике с током, определяется по закону Джоуля–Ленца:

Q= I²Rt=<P>t= B²DRt²/2.

Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, находится по формуле:

Q=cmΔT.

Вся теплота, выделяющаяся в проводнике, идет на его нагревание, поэтому можно записать:

B²DRt²/2=cmΔT,

откуда находим изменение температуры:

\[ \Delta T=\frac{{{B}^{2}}DR{{t}^{2}}}{2cm}, \]

ΔT=12 К.

Ответ: 12 К.

[dx/dt]

B10 (1 вариант). Две частицы массами m₁=m₂=1,00*10⁻¹² кг, заряды которых q₁=q₂=1,00*10⁻¹⁰ Кл, движутся в вакууме в однородном магнитном поле, индукция В которого перпендикулярна их скоростям. Расстояние l=200 см между частицами остается постоянным. Модули скоростей частиц u₁=u₂=15,0 м/с, а их направления противоположны в любой момент времени. Если пренебречь влиянием магнитного поля, создаваемого частицами, то модуль индукции В поля равен … мТл.

Решение

На каждую частицу со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, а также сила электрического взаимодействия (отталкивание) между этими частицами. Направления сил указаны на рисунке.

Выберем произвольно одну из частиц и запишем для нее основное уравнение динамики в проекциях на ось Ох (см. рисунок):

F_L - F_K = ma  (1),

где

\[ {{F}_{L}}=quB \]

- сила Лоренца,

\[ {{F}_{K}}=k\frac{{{q}^{2}}}{{{l}^{2}}}
 \]
- сила Кулона,

\[ a=\frac{{{u}^{2}}}{R} \]

- центростремительное ускорение, R=l/2 – радиус окружности.

Подставляя значения сил и ускорения в уравнение (1), получим:

\[ quB-k\frac{{{q}^{2}}}{{{l}^{2}}}=2m\frac{{{u}^{2}}}{l}, \]

откуда модуль магнитной индукции поля

\[ B=\frac{k{{q}^{2}}+2m{{u}^{2}}l}{qu{{l}^{2}}}, \]

B=165 мТл.

Ответ: 165 мТл.

[dx/dt]

B11 (1 вариант). В идеальном LC-контуре, состоящем из катушки индуктивностью L=25 мГн и конденсатора емкостью С=0,90 мкФ, происходят свободные электромагнитные колебания. Если максимальная сила тока в катушке I₀=80 мА, то максимальный заряд q₀ конденсатора равен … мкКл.

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии при электромагнитных колебаниях. Максимальная энергия электрического поля конденсатора будет равна максимальной энергии магнитного поля катушки:
 
\[ \frac{q_{0}^{2}}{2C}=\frac{LI_{0}^{2}}{2}.
 \]
Тогда максимальный заряд на обкладках конденсатора

\[ {{q}_{0}}={{I}_{0}}\sqrt{LC,} \]
 
q₀=12 мкКл.

Ответ: 12 мкКл.

[dx/dt]

B12 (1 вариант). На тонкую стеклянную линзу, находящуюся в воздухе за ширмой, падают два световых луча (см. рис.). Если луч А распространяется вдоль главной оптической оси линзы, а луч В – так, как показано на рисунке, то фокусное расстояние F линзы равно … см.

Решение

Для начала определим, что размер одной клеточки составляет 3 см.

Далее проводим главную оптическую ось линзы, которая совпадает с лучом А, затем продолжаем падающий и преломленный лучи В до их пересечения. В месте пересечения лучей В и будет находиться линза. Очевидно, что она собирающая. Изображаем линзу на рисунке (см. рис. 2).

Для нахождения фокуса линзы проводим через ее оптический центр прямую, параллельную падающему лучу В. Проводя из точки пересечения этой прямой с преломленным лучом перпендикуляр к главной оптической оси, находим фокус линзы (на рисунке 2 обозначен F). Находим фокусное расстояние – 4 клеточки, что соответствует 12 см.

Ответ: 12 см.

[konsul]

A4 (1 вариант). Тело, брошенное вертикально вниз с некоторой высоты, за последние две секунды движения прошло путь s=0,10 км. Если модуль начальной скорости тела u₀=10 м/с, то промежуток времени Δt, в течении которого тело падало, равен:

1) 3,0 с; 2) 4,0 с; 3) 5,0 с; 4) 6,0 с; 5) 7,0 с.

Решение

Запишем кинематические уравнения для движения тела на участках 1-3 и 1-2 (смотрите рисунок):

\[ H={{u}_{0}}t+\frac{g{{t}^{2}}}{2}; \]

\[ H-S={{u}_{0}}(t-{{t}_{2}})+\frac{g{{(t-{{t}_{2}})}^{2}}}{2}. \]

Здесь t – общее время движения (участок 1-3), t₂ – время движения на последнем участке (2-3).
Вычитаем из первого уравнения второе и после несложных преобразований находим время движения t:

\[ t=\frac{2S-2{{u}_{0}}{{t}_{2}}+gt_{2}^{2}}{2g{{t}_{2}}}; \]

t=5 с.

Ответ: 3) t=5 с.

если не сложно, распишите пожалуйста подробнее, как сократилось это выражение, то есть вычитание первого и второго уравнения (школу закончил достаточно давно, посему для меня сложновато это понять)

[alsak]

если не сложно, распишите пожалуйста подробнее, как сократилось это выражение, то есть вычитание первого и второго уравнения (школу закончил достаточно давно, посему для меня сложновато это понять)

\[\begin{array}{c} {H=u_{0} \cdot t+\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\; \; \; H-S=u_{0} \cdot \left(t-t_{2} \right)+\frac{g\cdot \left(t-t_{2} \right)^{2} }{2} ,} \\ {H-\left(H-S\right)=u_{0} \cdot t+\frac{g\cdot t^{2} }{2} -\left(u_{0} \cdot \left(t-t_{2} \right)+\frac{g\cdot \left(t-t_{2} \right)^{2} }{2} \right),} \\ {S=u_{0} \cdot t+\frac{g\cdot t^{2} }{2} -u_{0} \cdot t+u_{0} \cdot t_{2} -\frac{g\cdot \left(t^{2} -2t\cdot t_{2} +t_{2}^{2} \right)}{2} ,} \\ {S=\frac{g\cdot t^{2} }{2} +u_{0} \cdot t_{2} -\frac{g\cdot t^{2} }{2} +\frac{g\cdot 2t\cdot t_{2} }{2} -\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2} ,} \\ {S=u_{0} \cdot t_{2} +\frac{g\cdot 2t\cdot t_{2} }{2} -\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2} ,\; \; \; \frac{g\cdot 2t\cdot t_{2} }{2} =S-u_{0} \cdot t_{2} +\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2} ,} \\ {t=\frac{2S-2u_{0} \cdot t_{2} +g\cdot t_{2}^{2} }{2g\cdot t_{2} } .} \end{array}\]

[konsul]

спасибо