Условие. На однородный стержень массой
mс = 2,0 кг и длиной 40 см, который может вращаться вокруг оси
О, подвешен груз массой
m1 = 4,0 кг (рис. 1). На каком расстоянии от оси вращения следует подвесить груз массой
m2 = 1,0 кг, чтобы стержень находился в равновесии? Длина
АО = 10 см.
Решение. Предположим, что груз массой
m2 надо повесить правее оси вращения в точке
В. (Если предположение ошибочное, то расстояние
ОВ будет отрицательным).
На стержень действуют сила тяжести стержня (
mс⋅
g), сила тяжести груза массой
m1 (
m1⋅
g), сила тяжести груза массой
m2 (
m2⋅
g) и сила реакции оси (
N) (рис. 2, момент силы
N относительно опоры равен 0, поэтому эту силу на рисунке не изображаем).
Определим плечи сил, моменты сил и их знаки.
Плечо силы
m1⋅
g равно
l1 =
АО. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки
О против часовой стрелки, поэтому
М1 < 0, и
М1 =
m1⋅
g⋅
l1.
Плечо силы
m2⋅
g равно
l2 =
ОВ,
М2 > 0, и
М2 =
m2⋅
g⋅
l2.
Плечо силы
mс⋅
g равно
l3 =
ОС, где
OC =
AC –
AO =
l/2 –
AO, т.к. точка
С – середина стержня,
М3 > 0, и
М3 =
mс⋅
g⋅l3.
Из условия равновесия тела получаем
–m1⋅g⋅l1 + m2⋅g⋅l2 + mс⋅g⋅l3 = 0,
–m1⋅l1 + m2⋅l2 + mс⋅l3 = 0.
Тогда
\[ OB = l_2 = \frac{m_1 \cdot l_1 - m_c \cdot l_3}{m_2} =
\frac{m_1 \cdot AO - m_c \cdot \left( \frac{l}{2} - AO \right)}{m_2}, \]
OВ = 0,20 м. Так как
ОВ > 0, то точка
В находится правее оси вращения на 0,20 м.
