Найти максимальную высоту, на которую поднялся мяч

[Валерия]

Мальчик бросил вертикально вверх мяч и поймал его через 2 с. На какую максимальную высоту поднялся мяч?

[alsak]

Один из вариантов решения.
За тело отсчета выберем начальное положение мяча, ось 0Y направим вверх, тогда h₀ = 0 (рис. 1). При свободном падении тел можно использовать уравнение проекции скорости и уравнение движения
\[ \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t, \; \; \; y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2}}{2}, \]
где y₀ = h₀ = 0, υ_0y = υ₀, g_y = –g (см. рис. 1). Тогда
\[ \upsilon _{y} =\upsilon _{0} -g\cdot t, \; \; \; (1) \; \; \; \; y=\upsilon _{0} \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2}. \; \; \; (2) \]

Так как высота бросания мяча равна высоте, на которую мяч упал назад, то время подъема мяча вверх t₁ равно времени падения мяча вниз t₂, т.е. t₁ = t₂. Если t₀ = 2 c, то

t₀ = t₁ + t₂ = 2⋅t₁ и t₁ = t₀/2.   (3)

Найдем значение начальной скорости υ₀. Воспользуемся уравнениями (1) и (3), при этом учтем, что скорость на максимальной высоте υ_k = 0 (t = t₁):

υ_y(t₁) = υ₀ – g⋅t₁ = 0,   υ₀ = g⋅t₁ = g⋅t₀/2.   (4)

Максимальную высоту подъема мяча h_max можно найти, используя уравнения (2), (3) и (4) для t = t₁:
\[ h_{\max } =y\left(t_{1} \right)=\upsilon _{0} \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} =\frac{g\cdot t_{0} }{2} \cdot \frac{t_{0} }{2} -\frac{g\cdot t_{0}^{2} }{8} =\frac{g\cdot t_{0}^{2} }{8}, \]
h_max = 5 м.

[Валерия]

Спасибочки огромное