Решение: при движении по окружности, на груз действуют две силы:
mg – сила тяжести,
F – сила упругости со стороны пружины. Сила упругости подчиняется закону Гука:
F = k∙x,
k –жёсткость пружины,
x – искомое удлинение.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на выбранную систему координат:
x: F∙sinα = m∙a,
y: F∙cosα = m∙g.
т.к. угол отклонения пружины от вертикали при движении груза по окружности нам не известен, то возведём оба уравнения в квадрат и сложим:
\[ {{F}^{2}}\cdot {{\sin }^{2}}\alpha +{{F}^{2}}\cdot {{\cos }^{2}}\alpha ={{m}^{2}}{{a}^{2}}+{{m}^{2}}{{g}^{2}}, \]
\[ {{F}^{2}}\cdot ({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha )={{m}^{2}}{{a}^{2}}+{{m}^{2}}{{g}^{2}}, \]
Учтём, что центростремительное ускорение, с которым тело движется по окружности связано с линейной скоростью и радиусом:
a = υ2/R,
и основное тригонометрическое тождество: sin
2α + cos
2α = 1, получаем:
\[ {{k}^{2}}\cdot {{x}^{2}}={{m}^{2}}\frac{{{\upsilon }^{4}}}{{{R}^{2}}}+{{m}^{2}}{{g}^{2}}, \]
\[ x=\frac{m}{k}\sqrt{\frac{{{\upsilon }^{4}}}{{{R}^{2}}}+{{g}^{2}}}. \]
Ответ: 25 мм (при расчёте ускорение свободного падения взяли
g=10 м/с
2)
