В идеальном колебательном контуре совершаются гармонические колебания

[mlario]

В идеальном колебательном контуре с индуктивностью 100 мГн совершаются гармонические колебания с частотой 500 с-1. Найти емкость контура; закон изменения силы тока в контуре, если в начальный момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора была максимальной и равна 50 В; закон изменения со временем энергии магнитного поля.

[Kivir]

Решение: период колебаний идеального колебательного контура определяется по формуле Томсона:

\[ T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C,} \]

L – индуктивность контура, C – искомая ёмкость. Частота колебаний:

ν = 1/T,

после подстановки в формулу периода, возведём в квадрат и выразим ём-кость:

\[ C=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}\cdot {{\nu }^{2}}\cdot L}. \]

С =1∙10^–6 Ф.
Уравнение гармонических колебаний заряда в контуре:

\[ q={{q}_{0}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{0}} \right), \]

Здесь:  ω = 2πν – циклическая частота. В начальный момент конденсатор полностью заряжен (начальная фаза φ₀ = 0) и его максимальный заряд равен:

q₀ = C∙U₀,

\[ q=C\cdot {{U}_{0}}\cdot \cos \left( 2\pi \nu \cdot t \right), \]

Сила тока – первая производная от заряда по времени:

\[ i={q}'=-2\pi \nu \cdot C\cdot {{U}_{0}}\cdot \sin \left( 2\pi \nu \cdot t \right)=-2\pi \nu \cdot \frac{1}{4{{\pi }^{2}}\cdot {{\nu }^{2}}\cdot L}\cdot {{U}_{0}}\cdot \sin \left( 2\pi \nu \cdot t \right), \]

\[ i=-\frac{{{U}_{0}}}{2\pi \cdot \nu \cdot L}\cdot \sin \left( 2\pi \nu \cdot t \right), \]

\[ i=-0,16\cdot \sin \left( 1000\pi \cdot t \right), \]

Энергия магнитного поля катушки:

\[ W=\frac{L\cdot {{i}^{2}}}{2}, \]

Получаем:

\[ W=\frac{L\cdot {{i}^{2}}}{2}=1,28\cdot {{10}^{-3}}\cdot {{\sin }^{2}}\left( {{10}^{3}}\pi \cdot t \right). \]