Решение: пронумеруем вершины (см. рис.). т.к. шарики одинаковой массы и заряда, то система симметрична, поэтому расстановку сил изобразим только для одного из зарядов. На заряд в четвёртой вершине действуют силы:
mg – сила тяжести, вертикально вниз,
T – сила натяжения нити (направлена вдоль нити),
F1 – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда в первой вершине,
F2 – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда, находящегося во второй вершине и
F3 – сила кулоновского отталкивания со стороны заряда в третьей вершине квадрата. Заряд находится в равновесии, поэтому сумма сил, действующих на него, равна нулю.
\[ \vec{T}+m\vec{g}+{{\vec{F}}_{1}}+{{\vec{F}}_{2}}+{{\vec{F}}_{3}}=0. \]
Значит и сумма проекций сил на выбранную систему координат также равна нулю. Пусть ось
x - направлена по диагонали квадрата, ось
y – вертикально вверх (см.рис.). В проекциях, имеем:
x: F2 + F1∙cos45º + F3∙cos45º – T∙sinα = 0,
y: T∙cosα – mg = 0,
Силы электростатического взаимодействия зарядов определим по закону Кулона:
\[ \begin{array}{ll} {} & {F_{1} =F_{3} =\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q^{2} }{a^{2} } ,} \\ {} & {F_{2} =\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} } .} \end{array} \]
Учли, что заряды одинаковые, расстояние от 1-го и 3-го равно стороне квадрата, а от 2-го диагонали квадрата,
k = 9∙10
9 Н∙м
2/Кл
2 – коэффициент закона Кулона. Получаем:
\[ \begin{array}{l} {\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} } +2\cdot \frac{k\cdot q^{2} }{a^{2} } \cdot \cos 45{}^\circ =T\cdot \sin \alpha ,} \\ {T=\frac{mg}{\cos \alpha } .} \end{array} \]
Подставляя силу натяжения в первое уравнение, получим:
\[ mg\cdot tg\alpha =\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} } \left(1+2\sqrt{2} \right). \]
Искомый угол:
\[ \alpha =arctg\left(\frac{k\cdot q^{2} }{2\cdot a^{2} \cdot mg} \cdot \left(1+2\sqrt{2} \right)\right). \]
Ответ: α = 45º (
g = 10 м/с
2)
