О наклонную поверхность клина ударяется шарик

[kirill5555]

На гладкой горизонтальной поверхности находится клин, имеющий массу M = 0,64 кг. О гладкую наклонную поверхность клина ударяется шарик массой m = 0,15 кг, летевший горизонтально. Каким должен быть угол клина альфа, чтобы шарик отскочил вертикально вверх? Удар считать абсолютно упругим.

[alsak]

Так как удар абсолютно упругий, то воспользуемся законами сохранения механической энергии и импульса для системы шарик-клин. За нулевую высоту примем высоту горизонтальной подставки.
Вначале (до столкновения) двигается только один шарик массой m со скоростью υ. Пусть центр тяжести клин находится на высоте h₁, а шарик — на высоте h₂ (рис. 2). Тогда полная механическая энергия системы шарик-клин и начальный импульс системы будут равны
\[W_{0} =M\cdot g\cdot h_{1} +m\cdot g\cdot h_{2} +\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2}, \;\; \; \vec{p}_{0} =m\cdot \vec{\upsilon }.\]
Затем (сразу же после столкновения) двигаются и шарик со скоростью υ₁, и клин со скоростью υ₂. Высота центра тяжести клина не изменится, т.е. остается на высоте h₁, высота шарика в момент отскока так же останется прежней, т.е. h₂. Тогда полная механическая энергия системы шарик-клин и конечный импульс системы будут равны
\[W=M\cdot g\cdot h_{1} +m\cdot g\cdot h_{2} +\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2}, \;\; \; \vec{p}=m\cdot \vec{\upsilon }_{1} +M\cdot \vec{\upsilon }_{2} .\]
Так как на систему не действует внешняя сила (гладкие поверхности), то выполняется закон сохранения механической энергии и импульса:
\[\begin{array}{c} {M\cdot g\cdot h_{1} +m\cdot g\cdot h_{2} +\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} =M\cdot g\cdot h_{1} +m\cdot g\cdot h_{2} +\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} ,} \\ {\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2}, \; \; \; (1)} \\ {m\cdot \vec{\upsilon }=m\cdot \vec{\upsilon }_{1} +M\cdot \vec{\upsilon }_{2} ,} \end{array}\]

0Х: m⋅υ = M⋅υ₂.   (2)

Теперь рассмотрим движение шарика. Он изменяет направление движения под действием силы реакции опоры N (рис. 3) (сила N является внутренней силой для системы шарик-клин, и она перпендикулярна поверхности клина). Запишем закон изменения импульса шарика (Δt — время удара):
\[\vec{N}\cdot \Delta t=m\cdot \vec{\upsilon }_{1} -m\cdot \vec{\upsilon },\]

0Х: N_x∙Δt = m∙υ,   0Y: N_y∙Δt = m∙υ₁,

\[\frac{N_{x} }{N_{y} } =tg\alpha =\frac{\upsilon }{\upsilon _{1}}. \; \; \; (3)\]

Решим систему уравнений (1)-(3). Например, из уравнения (2) найдем скорость υ₂:

υ₂ = m∙υ/M,

из уравнения (1) — скорость υ₁:
\[\upsilon _{1} =\sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{M}{m} \cdot \upsilon _{2}^{2} } =\sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{M}{m} \cdot \left(\frac{m\cdot \upsilon }{M} \right)^{2} } =\sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{M} } =\upsilon \cdot \sqrt{1-\frac{m}{M} } .\]
Тогда, после подстановки последнего уравнения в (3), получаем:
\[tg\alpha =\frac{\upsilon }{\upsilon _{1} } =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{m}{M} } } ,\]
tg α = 1,14, α = 49°.