Определить минимальное значение силы, приложенной к нижнему бруску

[Deniska]

Брусок массой 20 кг скользит без трения по горизонтальной поверхности. На нем находится другой брусок массой 4 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков 0,465. Определить минимальное значение силы, приложенной к нижнему бруску, при котором начнется соскальзывание верхнего бруска.

[alsak]

Пусть m₂ = 20 кг, m₁ = 4 кг. Рассмотрим такое значение силы F, при котором верхний брусок еще не будет скользить по нижнему. Тогда ускорения брусков будут одинаковыми и равны a (и направлены в сторону силы F).
Рассмотрим силы, действующие на верхний брусок: это сила тяжести (m₁∙g) и сила реакции опоры (N₁). Так как брусок движется с ускорением a, то должна быть сила, которая сообщает ему это ускорение. Такой силой является сила трения покоя (бруски не скользят относительно друг друга) (F_t1) (рис. 1).
Рассмотрим силы, действующие на нижний брусок: это сила тяжести (m₂∙g), сила реакции опоры (N₂) и сила тяги (F). В результате взаимодействия двух брусков друг с другом возникаю еще две пары сил, которые, по третьему закону Ньютона, равны по величине, противоположны по направлению: силы трения покоя (F_t2 = F_t1) и сила, с которой верхний брусок давит на нижний (N₃ = N₁) (рис. 2).
Запишем проекции второго закона Ньютона для каждого бруска отдельно:

0Х:   m₁∙a = F_t1,   (1)

0Y:   0 = N₁ – m₁∙g,   (2)

0Х:   m₂∙a = F – F_t2,   (3)

где F_t1 = F_t2 ≤ μ⋅N₁ = μ⋅m₁⋅g (из уравнения (2))  (4). Решим систему уравнений (1), (3) и (4).

m₁∙a ≤ μ⋅m₁⋅g или a ≤ μ⋅g,

F = m₂∙a + F_t2 ≤ m₂∙a + μ⋅m₁⋅g ≤ m₂∙μ⋅g + μ⋅m₁⋅g = (m₂ + m₁)∙μ⋅g.   (5)

Неравенство (5) определяет значения F, при котором верхний брусок не будет скользить по нижнему. Тогда минимальное значение F_min, при котором верхний брусок начнет скользить:

F_min = (m₂ + m₁)∙μ⋅g,

F_min = 112 Н (g = 10 м/с²).