Решение: для описания движения мяча, воспользуемся кинематическими уравнениями зависимости координаты от времени и проекции скорости от времени:
\[ x=x_{0} +\upsilon _{0x} t+\frac{a_{x} t^{2} }{2} ,\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +a_{y} t. \]
Запишем эти уравнения для теннисного мяча:
\[ \begin{array}{l} {x=\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha \cdot t,} \\ {\upsilon _{y} =\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha -g\cdot t,} \\ {y=\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot t{}^{2} }{2} .} \end{array} \]
Выразив время из первого уравнения, подставив его в третье, получим уравнение траектории мяча (зависимость координаты
y от
x):
\[ y=x\cdot tg\alpha -\frac{g}{2\cdot \upsilon _{0}^{2} \cos ^{2} \alpha } \cdot x^{2} . \]
Траектория – парабола. В момент касания мячом стены в первом случае, координата
x = L= 8 м,
y = h1, начальная скорость: υ
01 =υ
0. Во втором случае:
x = L = 8 м,
y = h2 и начальная скорость броска в 2 раза больше, чем в первом случае: υ
02 =2∙υ
01= 2∙υ
0. Получаем:
\[ \begin{array}{l} {h_{1} =L\cdot tg\alpha -\frac{g}{2\cdot \upsilon _{0}^{2} \cos ^{2} \alpha } \cdot L^{2} ,} \\ {h_{2} =L\cdot tg\alpha -\frac{g}{2\cdot \left(2\upsilon _{0} \right)^{2} \cos ^{2} \alpha } \cdot L^{2} ,} \end{array} \]
Искомая разность высот:
\[ \Delta h=h_{2} -h_{1} =\frac{3\cdot g\cdot L^{2} }{8\cdot \upsilon _{0}^{2} \cos ^{2} \alpha } . \]
Теперь осталось определить начальную скорость и угол броска. Для этого воспользуемся условием задачи: верхняя точка траектории мяча в первом случае:
x = l = 5 м, y = H = 2,5 м, υy=0, t=tn.
\[ \begin{array}{l} {l=\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha \cdot t_{n} ,} \\ {0=\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha -g\cdot t_{n} ,} \\ {H=\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot t_{n} -\frac{g\cdot t_{n}^{2}}{2}.} \end{array} \]
Выразим время подъёма из второго уравнения, подставим в первое и третье:
\[ l=\frac{\upsilon _{0}^{2} \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha }{g} ,H=\frac{\upsilon _{0}^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha }{2g}. \]
Разделив уравнения, определим угол броска:
\[ tg\alpha =\frac{2H}{l} =1. \]
Угол броска равен 45º. Подставив его в любое из уравнений (
l или
H), получаем, что начальная скорость броска υ
0 =10 м/с.
Искомая разность высот: ускорение свободного падения приняли равным 10 м/с
2Δh = 4,8 м.
