Репетиционное тестирование 3 этап 2011/2012

[Kivir]

В4, вариант 1. Два тела, массы которых m₁ = 4,0 кг и m₂ = 3,0 кг, движутся по гладкой горизонтальной поверхности во взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Если после столкновения тела движутся  как единое целое со скоростью, модуль которой  υ = 5,0 м/с, то количество теплоты Q, выделившееся при столкновении, равно …Дж
В4, вариант 2.  Два тела, массы которых m₁ = 6,00 кг и m₂ = 8,00 кг, движутся по гладкой горизонтальной поверхности во взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями. Если после столкновения тела движутся  как единое целое со скоростью, модуль которой  υ = 5,00 м/с, то количество теплоты Q, выделившееся при столкновении, равно …Дж
Решение: т.к. удар неупругий (тела после столкновения движутся как единое целое), и внешних сил в системе нет (поверхность гладкая), то согласно закона сохранения и превращения энергии, количество теплоты, выделившееся при столкновении будет равно разности кинетических энергий системы до и после столкновения (потенциальная энергия системы не изменилась – тела находятся на горизонтальной поверхности и высота тел над поверхностью Земли не менялась):

Q = K₁ – K₂,

Кинетическая энергия после столкновения:
\[ K_{2} =\frac{\upsilon ^{2} }{2} \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right), \]
Кинетическая энергия системы до столкновения:
\[ K_{1} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} =\frac{\upsilon _{0}^{2} }{2} \cdot (m_{1} +m_{2} ), \]
Здесь υ₀ – скорость тел до столкновения. Определим её, воспользовавшись законом сохранения импульса: суммарный импульс системы до столкновения равен импульсу после. Учтём, что тела двигались во взаимно перпендикулярных направлениях, запишем закон в векторном виде и перейдём к модулям векторов, используя теорему Пифагора (кстати, импульс – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость и направленная также, как и скорость тела):
\[ \begin{array}{l} {\vec{p}_{1} +\vec{p}_{2} =\vec{p},} \\ {\left(m_{1} \cdot \upsilon _{0} \right)^{2} +\left(m_{2} \cdot \upsilon _{0} \right)^{2} =\left(\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon \right)^{2} ,} \\ {\upsilon _{0}^{2} =\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)^{2} }{m_{1}^{2} +m_{2}^{2} } \cdot \upsilon ^{2}.} \end{array} \]
Искомое количество теплоты:
\[ \begin{array}{l} {Q=\frac{m_{1} +m_{2} }{2} \cdot (\upsilon _{0}^{2} -\upsilon ^{2} ),} \\ {Q=\frac{m_{1} +m_{2} }{2} \cdot \upsilon ^{2} \cdot \left(\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)^{2} }{m_{1}^{2} +m_{2}^{2} } -1\right).} \end{array} \]
Ответ:84 Дж – вариант 1,
       168 Дж – вариант 2.

[Kivir]

В6, вариант 1. Тепловой двигатель работает по циклу, изображённому на рисунке. Рабочим телом двигателя является идеальный одноатомный газ. Коэффициент полезного действия η этого двигателя равен …%.
В6, вариант 2. Тепловой двигатель работает по циклу, изображённому на рисунке. Рабочим телом двигателя является идеальный одноатомный газ. Коэффициент полезного действия η этого двигателя равен …%.
Решение: КПД двигателя определим, как отношение полезной работы к подведённому количеству теплоты. Полезная работа равна площади цикла в координатных осях (p,V)–рисунок к задаче. Количество теплоты рабочее тело получало в процессах 1-2 и 2-3. Воспользуемся первым законом термодинамики:
\[ Q_{123} =Q_{12} +Q_{23} =\Delta U_{12} +A_{12} +\Delta U_{23} +A_{23}. \]
Работа газа в процессе 1-2 равна нулю (объём газа не изменился, а газ совершает работу только в процессе изменения своего объёма). Работа газа в процессе 2-3 равна площади фигуры под процессом (прямоугольника). Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа определяется:
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T=\frac{3}{2} \cdot \left(\nu \cdot R\cdot T_{2} -\nu \cdot R\cdot T_{1} \right)=\frac{3}{2} \left(p_{2} \cdot V_{2} -p_{1} \cdot V_{1} \right), \]
Мы воспользовались уравнением Клапейрона–Менделеева; p₂, V₂ – давление и объём в конечном состоянии, p₁, V₁ – давление и объём в начальном состоянии.
Вариант 1: 
\[ A=\left(3p_{1} -p_{1} \right)\cdot \left(3V_{1} -V_{1} \right)=4p_{1} \cdot V_{1},  \]
\[ \begin{array}{l} {Q_{123} =\frac{3}{2} \left(p_{2} \cdot V_{2} -p_{1} \cdot V_{1} \right)+\frac{3}{2} \left(p_{3} \cdot V_{3} -p_{2} \cdot V_{2} \right)+3p_{1} \cdot \left(3V_{1} -V_{1} \right),} \\ {Q_{123} =\frac{3}{2} \left(3p_{1} \cdot V_{1} -p_{1} \cdot V_{1} \right)+\frac{3}{2} \left(3p_{1} \cdot 3V_{1} -3p_{1} \cdot V_{1} \right)+3p_{1} \cdot \left(3V_{1} -V_{1} \right),} \\ {Q_{123} =18p_{1} \cdot V.} \end{array} \]
Искомый КПД:
\[ \eta =\frac{A}{Q_{123} } =\frac{4}{18} =22\% \]
Вариант 2:
\[ A=\frac{1}{2} \cdot \left(2p_{1} -p_{1} \right)\cdot \left(3V_{1} -V_{1} \right)=p_{1} \cdot V_{1},  \]
\[ \begin{array}{l} {Q_{123} =\frac{3}{2} \left(2p_{1} \cdot V_{1} -p_{1} \cdot V_{1} \right)+\frac{3}{2} \left(2p_{1} \cdot 3V_{1} -2p_{1} \cdot V_{1} \right)+2p_{1} \cdot \left(3V_{1} -V_{1} \right),} \\ {Q_{123} =\frac{23}{2} p_{1} \cdot V.} \end{array} \]
Искомый КПД:
\[ \eta =\frac{2}{23} =9\%  \]

[Kivir]

В8, вариант 1. Широкий сосуд с керосином (диэлектрическая проницаемость ε = 2,0;  ρ₁ = 0,80 г/см³) помещён в однородное электростатическое поле, силовые линии которого направлены вертикально. В керосине во взвешенном состоянии находится однородный железный (ρ₂ = 7,8 г/см³) шарик, заряд которого q = 20 нКл. Если модуль напряжённости внешнего электростатического поля E = 112 кВ/м, то объём V шарика равен …мм³ .
В8, вариант 2. Широкий сосуд с маслом (диэлектрическая проницаемость ε = 2,5;  ρ₁ = 0,93 г/см³) помещён в однородное электростатическое поле, силовые линии которого направлены вертикально. В масле во взвешенном состоянии находится однородный железный (ρ₂ = 7,8 г/см³) шарик, заряд которого q = 35 нКл. Если объём шарика V = 10 мм³, то модуль напряжённости E внешнего электростатического поля равен …кВ/м.
Решение: На шарик действуют силы (см. рис.): mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F_a– выталкивающая сила (сила Архимеда), F – сила со стороны электростатического поля (направлена вверх т.к. плотность шарика больше плотности жидкого диэлектрика, поэтому он должен тонуть, а по условию – во взвешенном состоянии). Шарик в равновесии, поэтому сумма всех сил равна нулю, следовательно, и сумма проекций сил на выбранную систему координат (ось y) равна нулю:

F +F_a – mg = 0.

Сила со стороны электростатического поля:

F=q∙E_d.

Здесь:E_d = E/ε – напряжённость поля в диэлектрике (он ослабляет внешнее электростатическое поле в ε раз). Сила Архимеда, действующая на шарик:

F_a=ρ₁∙g∙V.

ρ₁-плотность жидкости, _g = 10 м/с² – ускорение свободного падения, V - объём железного шарика. Массу шарика определим через его плотность ρ₂ и объём: m = ρ₂∙V.
Подставим всё в условие равновесия:
\[ q\cdot \frac{E}{\varepsilon } +\rho _{1} \cdot g\cdot V-\rho _{2} \cdot V\cdot g=0. \]
Для  варианта 1, выражаем объём шарика, для варианта 2 – напряжённость внешнего электростатического поля и производим расчёт.
Ответ:16 мм³ – вариант 1,
            49 кВ/м – вариант 2.

[Kivir]

В10, вариант 1. В горизонтальном однородном магнитном поле находится в невесомости проводник(ρ = 8,8 г/см³), расположенный горизонтально и перпендикулярно линиям магнитной индукции. Сила тока в проводнике I = 5,0 А. Если площадь поперечного сечения  проводника S = 3,7 мм², то модуль магнитной индукции B поля равен …мТл.
В10, вариант 2. В горизонтальном однородном магнитном поле находится в невесомости проводник(ρ = 8,8 г/см³), расположенный горизонтально и перпендикулярно линиям магнитной индукции. Сила тока в проводнике I = 10 А. Если площадь поперечного сечения  проводника S = 3,4 мм², то модуль магнитной индукции B поля равен …мТл.
Решение: на проводник действуют силы (см. рис.): mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, F_a– сила со стороны магнитного поля, действующая на проводник с током – сила Ампера,  (направлена вверх, т.к проводник находится в невесомости, что можно понимать – в равновесии, поэтому сумма всех сил равна нулю, следовательно, и сумма проекций сил на выбранную систему координат (ось y) равна нулю:

F_a – mg = 0.

Сила Ампера определяется по формуле:

F_a=I∙B∙l∙sinα.

Здесь: I – сила тока, B – искомая индукция магнитного поля, l - длина проводника, α – угол между проводником и магнитной индукцией (α = 90º т.к. проводник расположен перпендикулярно магнитному полю по условию).Массу проводника определим через его плотность ρ и объём V = S∙l – объём цилиндра:

m = ρ∙S∙l.

Подставим всё в условие равновесия:

I∙B∙l∙sin90º – ρ∙S∙l∙g = 0,

I∙B=ρ∙S∙g,

B=ρ∙S∙g / I.

Ответ:65 мТл – вариант 1,
   30 мТл – вариант 2.

[Kivir]

В12, вариант 1. Луч света, распространяющийся в жидкости (n = √2), падает под углом α = 30º на границу её раздела с воздухом. Угол β между отражённым и преломлённым лучами равен …градус (-ов).
В12, вариант 2. Луч света, распространяющийся в жидкости (n = √2), падает на границу её раздела с воздухом. Если угол преломления γ = 45º , то угол β между отражённым и преломлённым лучами равен …градус (-ов).
Решение: свет распространяется из оптически более плотной среды (n₁ = n = √2) в оптически менее плотную (n₂= 1 - воздух). Угол преломления будет больше угла падения. Искомый угол между лучом преломлённым и отражённым будет равен (см. рис.):

β =180º – γ – α.

Для нахождения угла преломления γ для первого варианта или угла падения α  для второго варианта воспользуемся законом преломления света:
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma } =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n}. \]
Вариант 1:
\[ \begin{array}{l} {\sin \gamma =n\cdot \sin \alpha ,\gamma =\arcsin (n\cdot \sin \alpha ),} \\ {\gamma =\arcsin (\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} )=45{}^\circ ,\beta =180{}^\circ -45{}^\circ -30{}^\circ =105{}^\circ .} \end{array} \]
Вариант 2:
\[ \begin{array}{l} {\alpha =\arcsin (\frac{\sin \alpha }{n} ),} \\ {\gamma =30{}^\circ ,\beta =180{}^\circ -45{}^\circ -30{}^\circ =105{}^\circ .} \end{array} \]
Ответ:  105º - в обоих вариантах

[Kivir]

В3, вариант 1. Металлический шарик (ρ₁ = 8 г/см³) плавает в воде (ρ₂ = 1 г/см³), погрузившись в неё наполовину. Если внутри шарика имеется полость, объём которой V = 15 дм³, то масса m шарика равна …кг.
В3, вариант 2.  Металлический шарик (ρ₁ = 8 г/см³) плавает в воде (ρ₂ = 1 г/см³), погрузившись в неё наполовину. Если внутри шарика имеется полость, объём которой V = 15 дм³, то объём V₁ шарика равна …дм³.
Решение: На шар действует две силы: mg – сила тяжести, F_a – выталкиваю-щая сила (сила Архимеда). Шарик в равновесии, поэтому сумма сил равна нулю, а т.к. сил только две, то они равны по модулю и противоположны по направлению:

F_a=mg.

Сила Архимеда, действующая на шарик:

F_a=ρ₂∙g∙(V₁/2).

ρ₂-плотность жидкости,  V₁/2- объём погружённой части шарика. Массу шарика определим через его плотность ρ₁ и объём (учтём, что внутри шарика есть полость, поэтому объём материала – от всего объёма вычтем полость):

m = ρ₁∙(V₁–V).

Подставим всё в условие равновесия:
\[ \begin{array}{l} {\rho _{2} \cdot g\cdot \frac{V_{1} }{2} =\rho _{1} \cdot \left(V_{1} -V\right)\cdot g,} \\ {\rho _{2} \cdot V_{1} =2\cdot \rho _{1} \cdot \left(V_{1} -V\right).} \end{array} \]
Выражаем объём шарика:
\[ V_{1} =\frac{2\cdot \rho _{1} \cdot V}{2\cdot \rho _{1} -\rho _{2}}.  \]
Т.к. условия заданий одинаковы, рассчитываем объём.
Ответ: V₁ = 16 дм³ – вариант2.
Вариант 1
\[ m = \rho_1 \cdot \left(V_{1} -V\right),  \]
m = 8 кг

[Kivir]

В5, вариант 1.   Температура нагревателя идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно, t₁ = 127 ºС, а температура холодильника t₂ = 27 ºС. Если рабочее тело получает от нагревателя количество теплоты Q₁ = 60 кДж, то количество теплоты Q₂, отдаваемое холодильнику, равно …кДж.
В5, вариант 2.   Температура нагревателя идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно, t₁ = 127 ºС, а температура холодильника t₂ = 27 ºС. Если рабочее тело отдаёт холодильнику количество теплоты Q₂ = 45 кДж, то от нагревателя оно получает количество теплоты Q₁, равное…кДж.
Решение: коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины можно рассчитать через температуры и через количества теплоты:
\[ \begin{array}{l} {\eta =1-\frac{T_{2} }{T_{1} } =1-\frac{Q_{2} }{Q_{1} } ,} \\ {\frac{T_{2} }{T_{1} } =\frac{Q_{2} }{Q_{1} }.} \end{array} \]
T₂ = 300 К,  T₁ = 400 К. Выражаем искомые количества теплоты и считаем:
Ответ:45 кДж – вариант 1,
        60 кДж – вариант 2.

[alsak]

А1. Вариант 1. Единицей площади в СИ является:

1) см³; 2) дм; 3) л; 4) м²; 5) мг.

Решение. Одна из формул для расчета площади S:

S = a²,

где а — длина стороны квадрата. Так как длина в СИ измеряется в метрах (м), то площадь — м².
Ответ. 4) м².

А1. Вариант 2. Единицей объема в СИ является:

1) см²; 2) мг; 3) мм; 4) м³; 5) кг.

Решение. Одна из формул для расчета объема V:

V = a³,

где а — длина стороны куба. Так как длина в СИ измеряется в метрах (м), то объем — м³.
Ответ. 4) м³.

[alsak]

А7. Вариант 1. Удельная теплоемкость железа c = 460 Дж/(кг∙°С). Это значит, что:
1) при плавлении 1 кг железа потребляется 460 Дж энергии;
2) при плавлении 1 кг железа выделяется 460 Дж энергии;
3) для нагревания 1 кг железа на 1 °С затрачивается 460 Дж энергии;
4) для нагревания 1 кг железа на 460 °С затрачивается 1 Дж энергии;
5) 1 кг железа при температуре 0 °С выделяет 460 Дж энергии.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.
А7. Вариант 2. Удельная теплоемкость алюминия c = 920 Дж/(кг∙°С). Это значит, что:
1) при плавлении 1 кг алюминия потребляется 920 Дж энергии;
2) при плавлении 1 кг алюминия выделяется 920 Дж энергии;
3) для нагревания 1 кг алюминия на 1 °С затрачивается 920 Дж энергии;
4) для нагревания 1 кг алюминия на 920 °С затрачивается 1 Дж энергии;
5) 1 кг алюминия при температуре 0 °С выделяет 920 Дж энергии.

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

Решение. По определению удельная теплоемкость равна:
\[ c=\frac{Q}{m\cdot \Delta t}, \]
где Q — энергия, затраченная на нагревание тела. Из этого уравнения следует, что удельная теплоемкость c будет численно равно Q, если знаменатель дроби будет равен 1, т.е. m= 1 кг, Δt = 1°C. Тогда правильным будет ответ:
Вариант 1. 3) для нагревания 1 кг железа на 1 °С затрачивается 460 Дж энергии.
Вариант 2. 3) для нагревания 1 кг алюминия на 1 °С затрачивается 920 Дж энергии.
Ответ. 3) 3.

[Kivir]

В7, вариант 1. Лёд (λ = 0,33 МДж/кг) массой m₁ при температуре t₁ = 0ºС опустили в калориметр, содержащий воду (c = 4,2 кДж/кгºС) массой m₂ = 0,15 кг при температуре t₂ = 86ºС. После таяния льда в калориметре установилась температура t₃ = 50ºС. Если теплоёмкость калориметра пренебрежимо мала, то масса m₁ равна…г.
В7, вариант 2. Лёд (λ = 0,33 МДж/кг) при температуре t₁ = 0ºС опустили в калориметр, содержащий воду (c = 4,2 кДж/кгºС) при температуре t₂ . После таяния льда в калориметре установилась температура t₃ = 50ºС. Если масса льда составляла 21% от массы воды в калориметре, а теплоёмкость калориметра пренебрежимо мала, то первоначальная температура t₂ воды нём была равна…ºС.
Решение:т.к. теплоёмкостью калориметра пренебречь, то в теплообмене участвуют только вода и лёд. При этом лёд тает (он находится при температуре плавления), а затем получившаяся из него вода нагревается до конечной температуры (забирает теплоту), вода в калориметре остывает, отдавая теплоту. Воспользуемся уравнением теплового баланса:
\[ c\cdot m_{2} \cdot (t_{3} -t_{2} )+\lambda \cdot m_{1} +c\cdot m_{1} \cdot (t_{3} -t_{1} )=0. \]
Вариант 1, учтём, что t₁ = 0º С, и выразим искомую массу:
\[ m_{1} =\frac{c\cdot m_{2} \cdot (t_{2} -t_{3} )}{\lambda +c\cdot t_{3}}. \]
Вариант 2, учтём, что t₁ = 0ºС, и m₁ = 0,21∙m₂ и выразим t₂:
\[ t_{2} =1,21\cdot t_{3} +0,21\cdot \frac{\lambda }{c}. \]
Ответ:42 г – вариант 1,
        77ºС – вариант 2.