По условию общий ток
I в цепи не изменяется, поэтому для расчета мощности
P будет применять формулу
P = I2∙R, (1)
где
R — общее сопротивление кольца. Пусть
l — длина кольца.
1 включение (рис. 1). Обозначим
l1 и
l2 длины участков кольца между контактами. По условию
\[\begin{array}{c} {l_{2} =2l_{1} ,\; \; \; l_{1} +l_{2} =l,\; \; \; 3l_{1} =l,} \\ {l_{1} =\frac{l}{3} ,\; \; \; l_{2} =\frac{2l}{3} .} \end{array}\]
Сопротивления этих участков
R1 и
R2, и общее сопротивление кольца
R01 будут равны:
\[\begin{array}{c} {R_{1} =\rho \cdot \frac{l_{1} }{S} ,\; \; \; R_{2} =\rho \cdot \frac{l_{2} }{S} ,} \\ {R_{01} =\frac{R_{1} \cdot R_{2} }{R_{1} +R_{2} } =\frac{\rho }{S} \cdot \frac{l_{1} \cdot l_{2} }{l_{1} +l_{2} } =\frac{\rho }{S} \cdot \frac{2l}{9} .} \end{array}\]
После подстановки в уравнение (1) получаем:
\[P_{1} =I^{2} \cdot \frac{\rho }{S} \cdot \frac{2l}{9} ,\; \; \; l=\frac{9P_{1} \cdot S}{2\rho \cdot I^{2} } .\; \; \; (2)\]
2 включение (рис. 2). Обозначим
l3 и
l4 длины участков кольца между контактами, сопротивления этих участков
R3 и
R4, общее сопротивление кольца
R04. Мощность
P2 в цепи будет равна (учтем, что
l3 =
l –
l4):
\[P_{2} =I^{2} \cdot R_{02} =I^{2} \cdot \frac{R_{3} \cdot R_{4} }{R_{3} +R_{4} } =I^{2} \cdot \frac{\rho }{S} \cdot \frac{l_{3} \cdot l_{4} }{l_{3} +l_{4} } =I^{2} \cdot \frac{\rho }{S} \cdot \frac{\left(l-l_{4} \right)\cdot l_{4} }{l} .\]
По условию
P2 должно принять максимальное значение. Это возможно, если максимальное значение примет выражение
y = (
l –
l4)∙
l4 (остальные величины постоянны). Найдем точки максимума для функции
y относительно переменной
l4:
\[\left(l\cdot l_{4} -l_{4}^{2} \right)^{{'} } =l-2l_{4} =0,\; \; \; l_{4} =\frac{l}{2} .\]
Тогда, учетом уравнения (2), мощность
P2 будет равна:
\[P_{2} =I^{2} \cdot \frac{\rho }{S} \cdot \frac{l}{4} =I^{2} \cdot \frac{\rho }{4S} \cdot \frac{9P_{1} \cdot S}{2\rho \cdot I^{2} } =\frac{9P_{1} }{8} ,\]
P2 = 121,5 Вт.
