Брусок лежит на доске. Если поднимать один конец доски

[roma]

Брусок лежит на доске. Если поднимать один конец доски, то при угле наклона 30° брусок начинает двигаться. Если угол наклона доски 45°, то брусок соскользнёт с доски длиной 1 метр за время ...?

[Kivir]

Решение: Рассмотрим первую ситуацию. При угле наклона α₀ = 30° тело начинает скользить, поэтому можно считать, что ускорение практически равно нулю. На тело действует сила тяжести, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры (перпендикулярна опоре), сила трения, направленная против возможного движения. (см. рис. 1). Т.к. это начало скольжения, то сила трения максимальна т.е. это сила трения скольжения:

F_tr = µ∙N.

Запишем второй закон Ньютона:
\[ m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{tr} =m\cdot a=0. \]
Составим систему уравнений, спроецировав второй закон на выбранную систему координат:
\[ \begin{array}{l} {mg\cdot \sin \alpha _{0} -\mu \cdot N=0,} \\ {-mg\cdot \cos \alpha _{0} +N=0.} \end{array} \]
или
\[ \begin{array}{l} {mg\cdot \sin \alpha _{0} =\mu \cdot N,} \\ {mg\cdot \cos \alpha _{0} =N.} \end{array} \]
Разделив уравнения друг на друга, определим коэффициент трения:

µ = tgα₀.

Ситуация вторая. Угол наклона увеличили до α = 45°. Тело начнёт соскальзывать  с наклонной плоскости с постоянным ускорением a (см. рис. 2). Запишем формулу пути при равноускоренном движении (υ₀ = 0) и выразим искомое время:
\[ \begin{array}{l} {l=\frac{a\cdot t^{2} }{2} ,} \\ {t=\sqrt{\frac{2\cdot l}{a} } .} \end{array} \]
Ускорение определим, снова записав второй закон Ньютона в проекциях на выбранную систему координат:
\[ \begin{array}{l} {mg\cdot \sin \alpha -\mu \cdot N=m\cdot a,} \\ {mg\cdot \cos \alpha =N,} \\ {mg\cdot \sin \alpha -\mu \cdot mg\cdot \cos \alpha =m\cdot a.} \end{array} \]
Учитывая полученное значение коэффициента трения, и сократив массу:
\[ a=g\cdot \sin \alpha -tg\alpha _{0} \cdot g\cdot \cos \alpha . \]
Искомое время:
\[ t=\sqrt{\frac{2\cdot l}{g\cdot (\sin \alpha -tg\alpha _{0} \cdot \cos \alpha )} } . \]
Ответ: 0,82 с