Решение: в момент отрыва в точке B на шайбу действует только сила тяжести mg (тело оторвалость от плоскости, т.е. нет взаимодействия с поверхностью, поэтому сила нормальной реакции опоры N и сила трения Ftr равны нулю). При этом тело движется по дуге окружности радиуса R. Т.е. тело движется с центростремительным ускорением ac. Направим координатную ось x вдоль плоскости, ось y – перпендикулярно плоскости (по радиусу) – см. рис. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y в точке B:
\[ \begin{array}{l} {mg\cdot \cos \alpha =m\cdot a_{c} ,} \\ {g\cdot \cos \alpha =\frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {R=\frac{\upsilon ^{2} }{g\cdot \cos \alpha}.} \end{array} \]
Здесь учли связь центростремительного ускорения ac со скоростью движения υ шайбы в точке B и радиусом окружности (искомый радиус трубы). Теперь необходимо определить скорость тела. Например, энергетическим способом:
Система незамкнута (присутствует трение), поэтому изменение энергии системы равно работе внешних сил (силы трения). За ноль отсчёта высоты возмём основание плоскости. Энергия в точке A – только кинетическая:
\[ E_{A} =\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2} }{2}. \]
Энергия в точке B равна сумме кинетической и потенциальной (тело поднялось на высоту h = L∙sinα):
\[ E_{B} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +m\cdot g\cdot L\cdot \sin \alpha. \]
Работа силы трения (учтём, что Ftr = μN, N определим через проекции сил на ось y при движении тела по плоскости – см. рис.):
\[ \begin{array}{l} {A=F_{tr} \cdot L\cdot \cos 180{}^\circ =-\mu \cdot N\cdot L,} \\ {N=m\cdot g\cdot \cos \alpha ,} \\ {A=-\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \cdot L.} \end{array} \]
Тогда получим:
\[ \begin{array}{l} {E_{B} -E_{A} =A,} \\ {\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +m\cdot g\cdot L\cdot \sin \alpha -\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} =-\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha \cdot L,} \\ {\upsilon ^{2} =\upsilon _{0}^{2} -2\cdot g\cdot L\cdot \left(\mu \cdot \cos \alpha +\sin \alpha \right).} \end{array} \]
(примечание: выражение для квадрата скорости можно было получить, определив ускорение a, с которым движется тело вдоль наклонной плоскости из второго закона Ньютона в проекциях на выбранную систему координат и воспользоваться уравнениями кинематики).
Получаем ответ:
\[ R=\frac{\upsilon _{0}^{2} -2\cdot g\cdot L\cdot \left(\mu \cdot \cos \alpha +\sin \alpha \right)}{g\cdot \cos \alpha }. \]
Ответ: 0,33 м (ускорение св. падения g = 9,8 м/с2)
