Вариант 1. № 10. К центру горизонтально расположенного диска прикреплена пружина длиной 10 см и жесткостью 100 Н/м. К другому концу пружины прикреплен шарик массой 50 г (рис. 1). Сколько оборотов в секунду должен делать диск, чтобы пружина растянулась на 2 см?
Вариант 2. № 10. К одному концу резинки длиной 30 см привязан грузик массой 8 г. За второй конец ее вращают в вертикальной плоскости, делая 120 об/мин (рис. 2). Определите жесткость резинки, если при вращении она удлинилась на 10 см.
Дополнение к задаче Варианта 2. Авторское условие имеет неточность: при вертикальном вращении удлинение резинки в разных точках траектории будет меняться. Удлинение будет постоянным только в случае, когда сила тяжести грузика во много раз меньше силы упругости. Поэтому в условие делает дополнение: «
Силой тяжести грузика пренебречь».
Решение. При вращении шарика и грузика второй закон Ньютона можно записать так:
\[m\cdot \vec{a}_{c} =\vec{F}_{1} +\vec{F}_{2} +...,\; \; \; (1)\]
где
ac = ω
2∙
R — центростремительное ускорение тел,
R = l + Δ
l — радиус вращения,
l — начальная длина пружины и резинки, Δ
l — их удлинение, ω = 2π∙ν — угловая скорость вращения, ν =
N/
t — частота вращения,
N — число оборотов за время
t.
На все тела действует сила упругости, т.е.
F1 =
Fy = k∙Δ
l, k — коэффициент жесткости пружины или резинки. Разберемся с остальными силами, действующими на тела.
Вариант 1. На шарик действуют еще сила тяжести (
m∙g) и сила реакции опоры (
N) (рис. 3). Силой трения, по умолчанию, можно пренебречь. Запишем проекцию уравнения (1) на ось 0
Х:
m∙ac = Fy. (2)
Вариант 2. На грузик действует только сила упругости резинки (
Fy), т.к. по условию «силой тяжести грузика пренебречь». Тогда рисунок можно сделать для любого положения грузика (рис. 4). Запишем проекцию уравнения (1) на ось 0
Y:
m∙ac = Fy (3)
С учетом пояснений к (1), уравнения (2) и (3) примут вид:
\[m\cdot \omega ^{2} \cdot R=k\cdot \Delta l,\; \; \; \; m\cdot \left(2\pi \cdot \frac{N}{t} \right)^{2} \cdot \left(l+\Delta l\right)=k\cdot \Delta l.\]
Вариант 1. По условию
l = 10 см = 0,1 м,
k = 100 Н/м,
m = 50 г = 0,05 кг,
t = 1 c, Δ
l = 2 см = 0,02 м. Тогда
\[2\pi \cdot \frac{N}{t} =\sqrt{\frac{k\cdot \Delta l}{m\cdot \left(l+\Delta l\right)} } ,\; \; \; N=\frac{t}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{k\cdot \Delta l}{m\cdot \left(l+\Delta l\right)} } ,\]
N = 2,9.Вариант 2. По условию
l = 30 см = 0,3 м,
m = 8 г = 0,008 кг,
N = 120,
t = 1 мин = 60 с, Δ
l = 10 см = 0,1 м. Тогда
\[k=\left(2\pi \cdot \frac{N}{t} \right)^{2} \cdot \frac{m\cdot \left(l+\Delta l\right)}{\Delta l} ,\]
k = 5 Н/м.
