Решение: будем считать грунт однородным, с плотностью ρ. Введём обозначения: H = 20 м – глубина колодца, S – площадь сечения дна (будем считать колодец цилиндрическим). Работу, совершаемую при выкапывании колодца удобнее всего определить через изменение энергии системы. Копаем медленно - кинетической энергии нет. За ноль отсчёта потенциальной энергии возьмём поверхность земли. Пусть m – масса выкопанного грунта, тогда первоначальное значение энергии системы (колодец глубиной H):
\[ E_{1} =-m\cdot g\cdot \frac{H}{2}. \]
Центр тяжести системы находится в геометрическом центре (на глубине H/2). Конечная энергия системы равна нулю (грунт рассыпали по поверхности земли). Массу выкопанного грунта определим через плотность и объём:
\[ m=\rho \cdot S\cdot H. \]
Тогда полная работа по выкапыванию колодца:
\[ \begin{array}{l} {A=E_{2} -E_{1} =0-\left(-m\cdot g\cdot \frac{H}{2} \right),} \\ {A=\rho \cdot S\cdot H\cdot g\cdot \frac{H}{2} =\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot g\cdot S\cdot H^{2}.} \end{array} \]
Пусть совершили только треть работы (A1), при этом выкопали колодец до глубины h. Рассуждая аналогично, получим:
\[ A_{1} =\rho \cdot S\cdot h\cdot g\cdot \frac{h}{2} =\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot g\cdot S\cdot h^{2}. \]
Тогда по условию задачи:
\[ \begin{array}{l} {A_{1} =\frac{1}{3} A,} \\ {\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot g\cdot S\cdot h^{2} =\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot g\cdot S\cdot H^{2} ,} \\ {h^{2} =\frac{1}{3} \cdot H^{2} ,} \\ {h=\frac{H}{\sqrt{3} } \cdot } \end{array} \]
Ответ: 11,5 м.
