Решение: т.к. частицы движутся прямолинейно, то они движутся вдоль силовой линии поля. На частицы действует две силы: электростатическое поле действует на частицы силой, равной по модулю произведению заряда частицы на напряжённость поля (q∙E) и частицы взаимодействуют между собой силой кулоновского притяжения F12 = F21 = F. По условию, расстояние между частицами остаётся неизменным, это означает, что частицы движутся с одинаковой скоростью в любой момент времени (т.е. у частиц одинаковое ускорение a1 = a2 = a). Координатную ось x выберем совпадающей по направлению с напряжённостью электростатического поля (см. рис.). Запишем второй закон Ньютона для каждой частицы:
\[ \begin{array}{l} {q_{1} \cdot \vec{E}+\vec{F}_{12} =m_{1} \cdot \vec{a}_{1} ,} \\ {q_{2} \cdot \vec{E}+\vec{F}_{21} =m_{2} \cdot \vec{a}_{2} .} \end{array} \]
Запишем теперь в проекции на координатную ось x:
\[ \begin{array}{l} {-q_{1} \cdot E+F=m_{1} \cdot a,} \\ {q_{2} \cdot E-F=m_{2} \cdot a.} \end{array} \]
Решим полученную систему уравнений, например: выразим ускорение из первого уравнения, подставим во второе и определим силу F.
\[ \begin{array}{l} {a=\frac{F-q_{1} \cdot E}{m_{1} } ,} \\ {q_{2} \cdot E-F=\frac{m_{2} }{m_{1} } \cdot \left(F-q_{1} \cdot E\right),} \\ {F=\frac{m_{1} \cdot q_{2} \cdot E+m_{2} \cdot q_{1} \cdot E}{m_{1} +m_{2} } .} \end{array} \]
Воспользуемся законом Кулона:
\[ F=\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}. \]
Здесь r – искомое расстояние, k = 9∙109 Н∙м2/Кл2 - коэффициент пропорциональности. Приравниваем и выражаем r.
\[ r=\sqrt{\frac{k\cdot q_{1} \cdot q_{2} \left(m_{1} +m_{2} \right)}{m_{1} \cdot q_{2} \cdot E+m_{2} \cdot q_{1} \cdot E}}. \]
Ответ: 3 м
