Решение: кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:
\[ x=A\cdot \sin (\omega t+\phi _{0}), \]
или
\[ x=A\cdot \cos (\omega t+\phi _{0}), \]
где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд, φ0 - начальная фаза колебаний.
Так как по условию нет никаких специальных оговорок, то для упрощения решения пусть тело колеблется по закону синуса с начальной фазой равной нулю, т.е.:
\[ x=A\cdot \sin (\omega t). \]
Скорость колеблющейся точки найдём, взяв первую производную по времени от координаты тела:
\[ \upsilon =x'=\left(A\cdot \sin (\omega t)\right)^{{'} } =\omega A\cdot \cos (\omega t). \]
где υ0 = ωA и есть амплитуда скорости (максимальная скорость).
Ускорение найдем, взяв производную по времени от скорости:
\[ a=\upsilon '=\left(\omega A\cdot \cos (\omega t)\right)^{{'} } =-\omega ^{2} A\cdot \sin (\omega t). \]
где a0 = ω2A — амплитуда ускорения (максимальное ускорение).
Учтём, что циклическую частоту можно определить:
\[ \omega =2\pi \cdot \nu =\frac{2\pi }{T}. \]
Здесь ν – частота, T – период колебаний. Составим систему уравнений:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{0} =\omega \cdot A,} \\ {a_{0} =\omega ^{2} \cdot A.}\end{array} \]
Решим относительно искомых величин:
\[ \begin{array}{l} {\frac{\upsilon _{0}}{a_{0}} =\frac{1}{\omega },} \\ {\omega =\frac{a_{0} }{\upsilon _{0} } ,\nu =\frac{a_{0} }{2\pi \cdot \upsilon _{0}} ,T=\frac{2\pi \cdot \upsilon _{0} }{a_{0} } ,A=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{a_{0}}.} \end{array} \]
Расчёт: ω = 2,5 рад/с, ν = 0,4 с–1, T = 2,51 с, A = 8 см.
Уравнение колебаний:
\[ x=8\cdot \sin (2,5\cdot t). \]
где x в сантиметрах.
