Решение: способ 1. На тело в верхней точке траектории действует две силы: mg – мила тяжести, направленная вертикально вниз и T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Ускорение тела при движении по дуге окружности можно разложить на два слагаемых:
\[ \vec{a}=\vec{a}_{\tau } +\vec{a}_{n}. \]
Тангенциальное ускорение aτ — направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю. Центростремительное или нормальное ускорение an — возникает всегда при движении точки по окружности конечного радиуса, характеризует изменение скорости по направлению и направлено перпендикулярно вектору мгновенной скорости (к центру окружности). Т.к. в верхней точке траектории скорость тела равна нулю (υ = 0), то и центростремительное ускорение тела равно нулю.
\[ a_{n} =\frac{\upsilon ^{2} }{R} =0. \]
Тогда ускорение тела равно тангенциальному: a = aτ. Ось z направим по касательной к траектории. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде и спроецируем его на выбранную координатную ось.
\[ \begin{array}{l} {\vec{T}+m\vec{g}=m\cdot \vec{a},} \\ {z:mg\cdot \sin \alpha =m\cdot a_{\tau} ,} \\ {a=a_{\tau} =g\cdot \sin \alpha.} \end{array} \]
Ответ: a = 5 м/с2
Второй способ. Тело совершает колебания – математический (нитяной маятник). Период колебаний такого маятника:
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}. \]
Запишем уравнение колебаний тела:
\[ x=A\cdot \cos \left(\omega t+\phi _{0} \right). \]
Здесь A – амплитуда, φ0- начальная фаза, ω – циклическая частота, которую определим, зная период колебаний:
\[ \omega =\frac{2\pi }{T} =\sqrt{\frac{g}{l}}. \]
Взяв вторую производную от координаты x по времени, определим зависимость проекции ускорения от времени.
\[ a_{x} =x''=-\omega ^{2} \cdot A\cdot \cos \left(\omega t+\phi _{0} \right)=-\omega ^{2} \cdot x. \]
Смещение тела в верхней точке траектории определим из геометрических соображений (см. рис.):
\[ \sin \alpha =\frac{x}{l} ,x=l\cdot \sin \alpha. \]
Тогда ускорение тела
\[ a=\left|a_{x} \right|=\omega ^{2} \cdot x=\frac{g}{l} \cdot l\cdot \sin \alpha =g\cdot \sin \alpha. \]
Ответ: 5 м/с2
