Решение: на тело m1 действуют силы: m1g – сила тяжести, N - сила нормальной реакции опоры, Ftr = μ∙N– сила трения (μ – коэффициент трения), T1 – сила натяжения нити. На тело m2: m2g – сила тяжести, T2 – сила натяжения нити. На блок: T1 и T2.
Запишем второй закон Ньютона для первого и второго тел:
\[ \begin{array}{l} {m_{1} \vec{g}+\vec{N}+\vec{T}_{1} +\vec{F}_{tr} =m_{1} \vec{a},} \\ {m_{2} \vec{g}+\vec{T}_{2} =m_{2} \vec{a}.} \end{array} \]
Спроецируем уравнения на систему координат:
\[ \begin{array}{l} {m_{1} g=N,T_{1} -F_{tr} =m_{1} a,} \\ {m_{2} g-T_{2} =m_{2} a.} \end{array} \]
Выразим из уравнений силы натяжения нити:
\[ \begin{array}{l} {T_{1} =m_{1} a+\mu \cdot m_{1} g,} \\ {T_{2} =m_{2} g-m_{2} a.} \end{array} \]
Разность сил натяжения нитей по обе стороны блока T2 – T1 будет создавать момент сил M, вращающий блок. По основному закону динамики вращательного движения:
\[ \left(T_{2}- T_{1} \right)\cdot R=M=J\cdot \varepsilon. \]
Здесь ε = а/R - угловое ускорение, с которым вращается блок, R – радиус блока, J = m∙R2 - момент инерции блока, как тонкого кольца (масса равномерно распределена по ободу). Подставив полученные выражения для сил натяжения, найдём ускорение грузов. Например:
\[ \begin{array}{l} {m_{2} g-m_{2} a- m_{1} a+\mu \cdot m_{1} g=\frac{m\cdot R^{2} }{R} \cdot \frac{a}{R} =m\cdot a,} \\ {g\cdot \left(m_{2} -\mu \cdot m_{1} \right)=a\cdot \left(m+m_{2} +m_{1} \right),} \\ {a=g\cdot \frac{m_{2} -\mu \cdot m_{1}}{m+m_{2} +m_{1}}.} \end{array} \]
Ответ: 1,96 м/с2 (g = 9,8 м/с2)
