ЦТ 2009

[alsak]

Вариант 1 В6. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянное, переводят из состояния с параметрами p₁ = 30,0 кПа и V₁ = 4,00 л в состояние с параметрами p₂ = 10,0 кПа и V₂ = 12,0 л так, что зависимость давления газа от его объема является линейной (p = a⋅V + b). Максимальное значение внутренней энергии Umax газа в этом процессе равно ... Дж.

Это задача 5 уровня.
Решение. Вначале найдем коэффициенты a и b в уравнении p = a⋅V + b. Для этого составим систему уравнений

p₁ = a⋅V₁ + b, p₂ = a⋅V₂ + b.

Один из вариантов ее решения:

\[
p_1 - p_2 = a \cdot (V_1 - V_2), \quad
a = \frac{ p_1 - p_2}{V_1 - V_2}, \]

\[
b = p_1 - a \cdot V_1 = p_1 - \frac{p_1 - p_2}{V_1 - V_2} \cdot V_1
= \frac{p_2 \cdot V_1 - p_1 \cdot V_2}{V_1 - V_2}, \]

a = –2,5 (кПа/л³), b = 40 (кПа).

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа равна

U = 3/2⋅ν⋅R⋅T = 3/2⋅p⋅V,

т.к. p⋅V = ν⋅R⋅T. Тогда

U_max = 3/2⋅ν⋅R⋅T_max = 3/2⋅(p⋅V)_max,

где (p⋅V)_max — максимальное значение произведения давления и объема.
Теперь задача сводится к нахождению или максимальной температуры T_max, или максимального значения произведения давления и объема (p⋅V)_max.
1 способ. Запишем уравнение

p⋅V = (a⋅V + b)⋅V = a⋅V² + b⋅V.

Получили квадратное уравнение. Максимальные значение найдем или через производную

(p⋅V)' = (a⋅V² + b⋅V)’ = 2a⋅V + b = 0, V_max = –b/(2a), V_max = 8 (л),

p_max = a⋅V_max + b = 20 (кПа),

или как координату V вершины параболы

V_max = –b/(2a), V_max = 8 (л),

p_max = a⋅V_max + b = 20 (кПа).

2 способ. Запишем уравнение для температуры

\[
T = \frac{1}{ \nu \cdot R} \cdot p \cdot V =
\frac{1}{ \nu \cdot R} \cdot (a \cdot V^2 + b \cdot V), \]

Получили квадратное уравнение. А дальше аналогично 1 способу.
U_max = 240 Дж.

[daimer]

Разъсните следующие задания пожалуйста:А8,А10,А15,А16,Б5

[alsak]

А8. Идеальный газ, количество вещества которого постоянно, переводят из состояния 1 в состояние 3 так, что зависимость концентрации n его молекул от температуры Τ имеет вид, изображенный на рисунке 1. Этой зависимости в V-T-координатах, где V — объем газа, соответствует график (рис. 2), обозначенный цифрой:

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

Решение. Так как концентрация n = N/V, где число молекул N не изменяется (количество вещества постоянно), то по изменению концентрации можно определять изменение объема.
Участок 1-2. Температура газа не изменилась. Концентрация n увеличилась в 3 раза, следовательно, объем газа уменьшился в 3 раза.
С постоянной температурой графики 2, 3, 4 и 5. Причем, чтобы объем газа уменьшился, на графике 2 процесс должен протекать справа налево, на графике 3 такой процесс не возможен, на графике 4 — слева направо, на графике 5 — слева направо.

Участок 2-3. Температура газа увеличилась в 3 раза. Концентрация n не изменилась — объем газа не изменился.
С постоянным объемом графики 2, 3 и 5. Чтобы температура газа увеличилась, на графике 2 процесс должен протекать слева направо, на графике 3 — слева направо, на графике 5 — слева направо.

Направления процессов на двух участках совпадают только на графике 5.
Ответ: 5) 5.
PS Следующая задача А10 появится через пару дней. Если у вас есть свои решения - можете присоединяться. Не можете правильно оформлять, делайте как можете, я отредактирую. Будете ждать только моих решений, процесс растянется надолго, а ЦТ через 10 дней.

[alsak]

Вариант 1. А9. В баллоне вместимостью V = 10 л находится ν = 2 кмоль аргона. Если средняя кинетическая энергия атома аргона <E_k> = 1,25⋅10^–24 Дж, то давление p газа на стенки баллона равно:

1) 0,1 МПа; 2) 0,3 МПа; 3) 0,5 МПа; 4) 0,7 МПа; 5) 0,9 МПа.

Решение. Аргон — одноатомный газ. Давление газа и средняя кинетическая энергия одноатомного газа связаны следующим соотношением

p = 2/3⋅n⋅<E_k>,

где n = N/V — концентрация молекул, N = ν⋅N_A — число молекул газа, N_A — постоянная Авогадро. В итоге получаем
 
\[
p = \frac{2}{3} \cdot \frac{ \nu \cdot N_A}{V} \cdot
\left\langle E_k \right\rangle, \]

p = 1⋅10⁵ Па = 0,1⋅10⁶ Па.
Ответ: 1) 0,1 МПа.

Вариант 1. А10. На рисунке изображены графики зависимости температуры T для трех тел (1, 2, 3) одинаковой массы, помещенных в печь, от времени τ. Если каждому из тел ежесекундно сообщалось одно и то же количество теплоты, то удельные теплоемкости с₁, с₂ и с₃ этих тел связаны соотношением:
 

1) с₁ < с₂ = с₃; 2) с₁ < с₂ < с₃; 3) с₁ < с₃ < с₂; 4) с₂ < с₃ < с₁; 5) с₃ = с₂ < с₁.

Решение. Определим, как при нагревании зависит изменение температуры тел Δt от времени τ при постоянной мощности источника тепла P (ежесекундно сообщалось одно и то же количество теплоты)

Q = c⋅m⋅Δt, где Q = P⋅τ.

Тогда
\[
P \cdot \tau = c \cdot m \cdot \Delta t, \quad
\Delta t = \frac{P}{c \cdot m} \cdot \tau = k \cdot \tau, \]

где k = tg α — тангенс угла наклона графика. Получили, что чем больше угол наклона, тем меньше удельная теплоемкость c. Найдем коэффициенты k для каждого графика:

k₁ = 2/5 = 0,4; k₂ = 4/5 = 0,8; k₃ = 3/5 = 0,6.

Так как k₁ < k₃ < k₂, то с₂ < с₃ < с₁.
Ответ. 4) с₂ < с₃ < с₁.

[alsak]

Вариант 1. А15. Ионы азота N⁺ и N²⁺, кинетические энергии которых одинаковые, влетают в однородное магнитное поле в направлении оси Ох перпендикулярно линиям индукции В (рис.). Если траектория иона N²⁺ обозначена буквой С, то траектория иона N⁺ обозначена буквой:

1) А; 2) B; 3) С; 4) D; 5) Е.

Решение. Массы ионов азота N⁺ и N²⁺ отличаются на массу одного электрона. Но масса электрона во много раз меньше массы ионов, поэтому можем считать, что m(N⁺) = m(N²⁺). Тогда из равенства кинетических энергий ионов делаем вывод, что равны и их скорости, т.е. υ(N⁺) = υ(N²⁺).
Заряды ионов отличаются в два раза: q₁ = q(N⁺) = e, q₂ = q(N²⁺) = 2e, где е — элементарный заряд.
Так как ионы двигаются по окружности под действие силы Лоренца, то уравнение второго закона Ньютона примет вид:

m⋅a_ц = q⋅B⋅υ (α = 90 °),

где a_ц = υ²/R. Тогда

m⋅υ²/R = q⋅B⋅υ или m⋅υ/R = q⋅B.

Выразим из полученного уравнения радиус и найдем отношение радиусов для ионов азота N⁺ и N²⁺:
 
\[
R = \frac{m \cdot \upsilon }{q \cdot B}, \quad
R_1 = \frac{m \cdot \upsilon }{q_1 \cdot B}, \quad
R_2 = \frac{m \cdot \upsilon }{q_2 \cdot B}, \quad
\frac{R_1}{R_2} = \frac{q_2}{q_1} = 2. \]

Получили, что радиус иона азота N⁺ в 2 раза больше радиуса иона азота N²⁺. Так как траектория иона N²⁺ обозначена буквой С, то траектория иона N⁺ будет E.
Ответ. 5) Е.

[alsak]

Вариант 1. А16. Зависимость координаты пружинного маятника, совершающего колебания вдоль оси Ох, от времени имеет вид: x(t) = A⋅sin(B⋅t + C), где В = 17π/18 рад/с, С = 2π/9 рад. Если в момент времени t₁ = 1,0 с потенциальная энергия пружины W_p = 9,0 мДж, то полная энергия W маятника равна:

1) 10 мДж; 2) 12 мДж; 3) 18 мДж; 4) 21 мДж; 5) 36 мДж.

Решение. Потенциальная энергия пружины W_p в данный момент времени t₁ и полная энергия W маятника равны:
 
\[
W_p = \frac{k \cdot \Delta l_1^2}{2}, \quad
W = \frac{k \cdot \Delta l_{max}^2}{2} = \frac{k \cdot A^2}{2}, \]

где Δl₁ = x(t₁) = A⋅sin(B⋅t₁ + C). Подставим значения

Δl₁ = A⋅sin(17π/18 + 2π/9) = A⋅sin(21π/18) = A⋅sin(7π/6) = – A⋅sin(π/6).

Тогда
 
\[
W_p = \frac{k \cdot A^2}{2} \cdot \sin^2 \frac{ \pi }{6} =
W \cdot \sin^2 \frac{ \pi }{6}, \quad
W = \frac{W_p}{\sin^2 \frac{ \pi }{6}} = 4W_p, \]

Ответ: 5) 36 мДж.

[alsak]

Вариант 1 В5.
Вертикальный цилиндрический сосуд с гелием (M = 4,00 г/моль), закрытый легкоподвижным поршнем массой m₁ = 6,00 кг, находится в воздухе, давление которого p₀ = 100 кПа. Масса гелия m₂ = 8,00 г, площадь поперечного сечения поршня S = 30,0 см². Если газ нагрели на ΔT = 6,00 K, то занимаемый им объем увеличился на ΔV, равное ... см³.

Решение. В сосуде с поршнем давление не изменяется, т.е. процесс изобарный. Запишем уравнение Клайперона-Менделеева для гелия с объемом V₁ и температурой T₁, и с объемом V₂ и температурой T₂

p⋅V₁ = ν⋅R⋅T₁,  p⋅V₂ = ν⋅R⋅T₂,

где p = p₀ + m₁⋅g/S — давление внутри сосуда, m₁⋅g/S — давление, с которым поршень давит на гелий, ν = m₂/M — количество вещества, V₂ = V₁ + ΔV, T₂ = T₁ + ΔT. Решим систему уравнений. Например,

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁), p⋅ΔV = ν⋅R⋅ΔT,

\[
\Delta V = \frac{ \nu \cdot R}{p} \cdot \Delta T =
\frac{m_2 \cdot R}{M \cdot \left(p_0 + \frac{m_1 \cdot g}
{S} \right)} \cdot \Delta T, \]

ΔV = 8,3⋅10^–4 м³ = 830 см³.

Ответ: 830.