Репетиционное тестирование 2 этап 2012/2013

[djeki]

B10 Вариант 1
Если в нагрузке, подключенной к аккумулятору, при силе тока I₁ = 5,0 А выделяется мощность Р₁ = 30 Вт, а при силе тока I₂ = 10 А - мощность Р₂ = 40 Вт, то сила тока при коротком замыкании Iк аккумулятора равна ... А.
Решение.
Сила тока короткого замыкания
\[ {{I}_{k}}=\frac{\varepsilon }{r} \]
Где ε и r – ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.
Мощность, которая выделяется на нагрузке
\[ P={{I}^{2}}\cdot R;R=\frac{P}{{{I}^{2}}} \]
Тогда из закона Ома для полной цепи
\[ \begin{align}
  & \varepsilon ={{I}_{1}}\cdot ({{R}_{1}}+r)={{I}_{1}}\cdot \left( \frac{{{P}_{1}}}{I_{1}^{2}}+r \right)=\frac{{{P}_{1}}}{{{I}_{1}}}+{{I}_{1}}\cdot r \\
 & \varepsilon ={{I}_{2}}\cdot ({{R}_{2}}+r)={{I}_{2}}\cdot \left( \frac{{{P}_{1}}}{I_{2}^{2}}+r \right)=\frac{{{P}_{1}}}{{{I}_{2}}}+{{I}_{2}}\cdot r \\
\end{align}
 \]
Приравняем оба уравнения и выразим r
\[ r=\frac{{{P}_{1}}\cdot {{I}_{2}}-{{P}_{2}}\cdot {{I}_{1}}}{{{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}\cdot ({{I}_{2}}-{{I}_{1}})} \]
r = 0.4 Ом
Теперь можно найти силу тока короткого замыкания
\[ {{I}_{k}}=\frac{\varepsilon }{r}=\left( \frac{{{P}_{1}}}{{{I}_{1}}}+{{I}_{1}}\cdot r \right)\cdot \frac{1}{r}=\frac{{{P}_{1}}}{{{I}_{1}}\cdot r}+{{I}_{1}} \]
Ответ: 20 А

[djeki]

B10 Вариант 2
К источнику постоянного тока поочередно подключали резисторы сопротивлением R₁ = 2 Ом и R₂ = 8 Ом. Если мощность, выделяемая в резисторах, одинакова (Р₁ = Р₂), то внутреннее сопротивление r источника тока равно ... Ом,
Решение.
Силы тока при подключении источника тока к резисторам сопротивлениями R₁ и R₂ равны соответственно
\[ {{I}_{1}}=\frac{\varepsilon }{{{R}_{1}}+r};{{I}_{2}}=\frac{\varepsilon }{{{R}_{2}}+r} \]
Мощность, которая выделится на этих резисторах
\[ \begin{align}
  & P={{I}^{2}}\cdot R;{{P}_{1}}=\frac{{{\varepsilon }^{2}}\cdot {{R}_{1}}}{{{({{R}_{1}}+r)}^{2}}};{{P}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }^{2}}\cdot {{R}_{2}}}{{{({{R}_{2}}+r)}^{2}}};{{P}_{1}}={{P}_{2}} \\
 & \frac{{{R}_{1}}}{{{({{R}_{1}}+r)}^{2}}}=\frac{{{R}_{2}}}{{{({{R}_{2}}+r)}^{2}}} \\
\end{align}
 \]
При решении последнего уравнения, считаю целесообразным сразу подставить известные значения R₁ и R₂
Ответ: 4 Ом

[djeki]

B11 Вариант 1
Протон, начальная скорость которого υ₀ = 0 м/с, ускоряется разностью потенциалов φ₁ – φ₂ = 0.45 кВ и влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Если модуль вектора магнитной индукции магнитного поля В = 0,30 Тл, то радиус R окружности, по которой прогон будет двигаться в магнитном поле, равен ... мм.
B11 Вариант 2
Электрон, начальная скорость которого υ₀ = 0 м/с ускоряется разностью потенциалов φ₁ – φ₂, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции и движется в этом поле по окружности, радиус которой R = 2,20 см. Если модуль вектора магнитной индукции магнитного поля В = 2,00 мТл, то модуль ускоряющей разности потенциалов |φ₁ – φ₂| равен ... В.
Решение.
На заряд, движущийся со скоростью υ в магнитном поле, линии индукции которого направлены перпендикулярно его движению, действует сила Лоренца F, которая создает центростремительное ускорение a. Тогда согласно второму закону Ньютона.
\[ F=m\cdot a;B\cdot \left| q \right|\cdot \upsilon =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{R}(1) \]
Заряд ускоряется в электрическом поле. Согласно теореме о кинетической энергии, работа ускоряющего электрического поля равна изменению кинетической энергии заряда. Если учесть, что φ₁ – φ₂ = U то
\[ A=\left| q \right|\cdot U=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2};\upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot \left| q \right|\cdot U}{m}} \]
Вариант 1
С учетом (1)
\[ R=\frac{m\cdot \upsilon }{B\cdot \left| q \right|}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot U}{\left| q \right|}} \]
Ответ: 10 мм

Вариант 2
\[ \begin{align}
  & B\cdot \left| q \right|\cdot R=m\cdot \upsilon ;B\cdot \left| q \right|\cdot R=m\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \left| q \right|\cdot U}{m}} \\
 & U=\frac{{{B}^{2}}\cdot \left| q \right|\cdot {{R}^{2}}}{2\cdot m} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 170 В

[djeki]

B12 Вариант 1
На горизонтальной поверхности находилось небольшое заряженное тело массой m = 0,10 кг и зарядом q = - 50 нКл. Параллельно этой поверхности было создано однородное электростатическое поле, модуль напряженности которого Е = 3,0·10⁵ В/м. В некоторый момент времени телу ударом сообщили скорость, модуль которой υ₀ = 17 м/с, в направлении силовой линии поля. Если коэффициент трения между телом и поверхностью μ = 0,30, то модуль скорости υ движения тела в момент времени, когда тело прошло путь s = 10 м, равен ... м/с.
B12 Вариант 2
На горизонтальной поверхности находилось небольшое заряженное тело массой m = 0,10 кг и зарядом q = - 60 нКл. Параллельно этой поверхности было создано однородное электростатическое поле, модуль напряженности которого Е = 2,0·10⁵ В/м. В некоторый момент времени телу ударом сообщили скорость, модуль которой υ₀ = 12 м/с, в направлении силовой линии поля. Если коэффициент трения между телом и поверхностью μ = 0,20, то модуль скорости υ движения тела в момент времени, когда тело прошло путь s = 5 м, равен ... м/с.

Решение. Согласно теореме о кинетической энергии, работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.
На тело действуют сила тяжести mg, сила реакции опоры N, сила со стороны электростатического поля F и сила трения F_tr. Работу результирующей силы можно найти как сумму работ всех сил, которые действуют на тело. Учитывая, что

A = F·s·cosα

получим следующее выражение

A_r = A_F +A_mg + A_N + A_tr = -F·s - F_tr·s

Здесь мы учли, что работа A_mg = A_N = 0. Поскольку для этих сил угол между действием силы и перемещением α = 90°, для силы F и F_tr - α = 180°.
С учетом того, что сила со стороны электростатического поля и сила трения равны соответственно

F = |q| E; F_tr= μ·N = μ·m·g

\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}= -\left| q \right|\cdot E\cdot s-\mu \cdot m\cdot g\cdot s \\
 & \upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2} - \frac{2\cdot s\left( \left| q \right|\cdot E + \mu \cdot m\cdot g \right)}{m}} \\
\end{align}
 \]
Вариант 1
Ответ: 15 м/с

Вариант 2
Ответ: 11 м/с

[djeki]

А1 Вариант 1
Установите соответствие между физической величиной характеристикой:

А. Скорость Б. Давление В. Работа

1) векторная величина 2) скалярная величина

1) А1 Б1 В2; 2) А1 Б2 В1; 3) А2 Б2 В1; 4) А2 Б1 В2; 5) А1 Б2 В2.
Решение.
Скорость – векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения положения тела при движении
Давление - физическая величина, равная отношению силы к площади поверхности приложения этой силы.
Работа – это физическая скалярная величина, равная произведению модулей силы и перемещения умноженному на косинус угла между направлениями силы и перемещения, если сила не изменяется в процессе движения;
Ответ: 5) А1 Б2 В2

[djeki]

А1 Вариант 2
Установите соответствие между физической величиной характеристикой:

А. Ускорение Б. Перемещение В. Давление

1) векторная величина 2) скалярная величина

1) А2 Б2 В1; 2) А1 Б2 В2; 3) А2 Б1 В1; 4) А2 Б1 В2; 5) А1 Б1 В2
Решение
Ускорение – векторная физическая величина, численно равная изменению скорости тела за единицу времени
Перемещение – вектор, соединяющий начальную и конечную точку траектории
Давление - физическая величина, равная отношению силы к площади поверхности приложения этой силы.
Ответ 5) А1 Б1 В2

[djeki]

А2 Вариант 1
На рисунке изображен график зависимости координаты х автомобиля, движущегося вдоль оси Ох, от времени t. Путь s, пройденный автомобилем за промежуток времени Δt =8 мин (от момента начала отсчета времени), равен:
1) 2 км; 2) 5 км; 3) 6 км; 4) 8 км; 5) 9 км
А2 Вариант 2
На рисунке изображен график зависимости координаты х автомобиля, движущегося вдоль оси Ох, от времени t. Путь s, пройденный автомобилем за промежуток времени Δt =8 мин (от момента начала отсчета времени), равен:
1) 4,0 км; 2) 5,0 км; 3) 7,0 км; 4) 8,0 км; 5) 10 км

Решение.
Вариант 1
В момент времени t = 0 координата тела х₀ = 2 км, в момент времени t₁ = 1 мин -координата тела х₁ = 3 км. Пройденный путь s₁ = |х₁ – х₀| = 1 км. В момент времени t₂ = 2 мин координата тела х₂ = 1 км. Пройденный путь s₂ = |х₂ – х₁| = 2 км. В момент времени t₃ = 4 мин координата тела х₃ = -1 км. Пройденный путь s₃ = |х₃ – х₂| = 2 км. В промежутке времени от 4 мин до 6 мин, координата тела не изменялась, это значит, тело не двигалось s₄ =0. В момент времени t₅ = 8 с координата тела х₅ = 0 км. Пройденный путь s₅ = |х₅ – х₃| = 1 км.
Весь пройденный путь равен сумме пройденных путей на каждом из отрезков времени. s = 6 км
Ответ 3) 6 км

Вариант 2
Проведя аналогичные рассуждения, найдем путь s = 10 км
Ответ 5) 10 км

[djeki]

А3 Вариант 1
Если расстояние между двумя лодочными станциями моторная лодка (при неизменной мощности двигателя) проходит по течению реки за промежуток времени Δt₁ = 20 мин, а против течения - за Δt₂ = 30 мин, то промежуток времени Δt, за который такое же расстояние лодка пройдет в стоячей воде, равен:
1)10 мин; 2) 20 мин; 3) 24 мин; 4) 25 мин; 5) 50 мин.

Решение.
Обозначим скорость лодки в стоячей воде υ_L, скорость течения реки υ_Т, s – пройденный путь. Тогда промежутки времени, за которые лодка проходит путь s по течению, против течения и в стоячей воде равны соответственно
\[ \Delta {{t}_{1}}=\frac{s}{{{\upsilon }_{L}}+{{\upsilon }_{T}}}(1);\Delta {{t}_{2}}=\frac{s}{{{\upsilon }_{L}}-{{\upsilon }_{T}}}(2);\Delta t=\frac{s}{{{\upsilon }_{L}}}(3) \]
Из (1) выразим пройденный путь и подставим в (3)
\[ \Delta t=\frac{({{\upsilon }_{L}}+{{\upsilon }_{T}})\cdot \Delta {{t}_{1}}}{{{\upsilon }_{L}}} \]
Решим совметно (1) и (2) например относительно скорости течения реки υ_Т и подставим в уравнение для промежутка времени Δt
\[ {{\upsilon }_{T}}=\frac{{{\upsilon }_{L}}\cdot (\Delta {{t}_{2}}-\Delta {{t}_{1}})}{\Delta {{t}_{1}}+\Delta {{t}_{2}}};\Delta t=\Delta {{t}_{1}}+\frac{(\Delta {{t}_{2}}-\Delta {{t}_{1}})\cdot \Delta {{t}_{1}}}{\Delta {{t}_{1}}+\Delta {{t}_{2}}} \]
Ответ 3) Δt = 24 мин

[djeki]

А3 Вариант 2
Если расстояние между двумя лодочными станциями моторная лодка (при неизменной мощности двигателя) проходит по течению реки за промежуток времени Δt₁= 10 мин, а в стоячей воде такое же расстояние лодка проходит за Δt₂=12мин, то это же расстояние лодка пройдет против течения реки за промежуток времени Δt, равный:
1) 9,6 мин; 2) 12 мин; 3) 15 мин; 4) 18 мин; 5) 22 мин.

Решение.
Обозначим скорость лодки в стоячей воде υ_L, скорость течения реки υ_Т, s – пройденный путь. Тогда промежутки времени, за которые лодка проходит путь s по течению, против течения и в стоячей воде равны соответственно
\[ \Delta {{t}_{1}}=\frac{s}{{{\upsilon }_{L}}+{{\upsilon }_{T}}}(1);\Delta t=\frac{s}{{{\upsilon }_{L}}-{{\upsilon }_{T}}}(2);\Delta {{t}_{2}}=\frac{s}{{{\upsilon }_{L}}}(3) \]
С учетом (3) уравнение (2) можно переписать следующим образом
\[ \Delta t=\frac{{{\upsilon }_{L}}\cdot \Delta {{t}_{2}}}{{{\upsilon }_{L}}-{{\upsilon }_{T}}} \]
Решим совметно (1) и (3) например относительно скорости течения реки υТ и подставим в уравнение для промежутка времени Δt
\[ {{\upsilon }_{T}}=\frac{{{\upsilon }_{L}}\cdot (\Delta {{t}_{2}}-\Delta {{t}_{1}})}{\Delta {{t}_{1}}};\Delta t=\frac{{{\upsilon }_{L}}\cdot \Delta {{t}_{2}}}{{{\upsilon }_{L}}-\frac{{{\upsilon }_{L}}\cdot (\Delta {{t}_{2}}-\Delta {{t}_{1}})}{\Delta {{t}_{1}}}}=\frac{\Delta {{t}_{2}}\cdot \Delta {{t}_{1}}}{2\cdot \Delta {{t}_{1}}-\Delta {{t}_{2}}} \]
Ответ 3) Δt = 15 мин

[djeki]

А4 Вариант 1
Брусок массой m = 5,00 кг тянут по гладкой горизонтальной поверхности, прикладывая силу  , направленную вверх под углом α = 45° к горизонту. Если модуль ускорения движения бруска а = 2,00 м/с², то модуль силы F равен:
1) 15,2 Н; 2) 14,2 Н; 3) 13,1 Н; 4) 12,6 Н; 5) 10,0 Н
А4 Вариант 2
На тело, движущееся по гладкой горизонтальной поверхности, действует сила, модуль которой F= 10 Н, направленная вверх под углом α= 60° к горизонту. Если модуль ускорения движения тела а=1,0 м/с², то масса m тела равна:
1) 3,0 кг; 2) 4,0 кг; 3) 5,0 кг; 4) 6,0 кг; 5) 7,0 кг

Решение.
Направим координатную ось в направлении движения. Тогда проекция ускорения а_х = а, и силы F_х = F·cosα
Формула второго закона Ньютона для проекций имеет вид

F_х = m·a_x

C учетом этого
Вариант 1
\[ F\cdot \cos \alpha =m\cdot a;F=\frac{m\cdot a}{\cos \alpha } \]
Ответ 2) 14,2 Н

Вариант 2
\[ F\cdot \cos \alpha =m\cdot a;m=\frac{F\cdot \cos \alpha }{a} \]
Ответ 3) 5 кг