1. Равномерное прямолинейное движение

[Сергей]

Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

Глава 1. Основы кинематики.
1. Равномерное прямолинейное движение.

Тест А1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест А2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

  В1.1 Первую половину времени тело движется со скоростью, модуль которой υ₁ = 6,0 м/с, под углом α₁ = 45° к оси Ох, а вторую половину времени — под углом α₂ = 135° к оси Ох со скоростью, модуль которой υ₂ = 9,0 м/с. Модуль средней скорости перемещения равен... м/с.
Решение:
Средняя скорость перемещения
\[ <\vec{\upsilon }>=\frac{\Delta \vec{r}}{t} \]
Перемещение – вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. Определим модуль перемещения из треугольника (см. рис). Как видно из рисунка

β = 180° – α₂ = 45°. α₁ = 45° по условию.

Таким образом, треугольник S₁S₂Δr – прямоугольный. Тогда
\[ \Delta r=\sqrt{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}} \]
С учетом того, что

S₁ = υ₁·t/2; S₂ = υ₂·t/2

\[ <\upsilon >=\frac{\Delta r}{t}=\frac{\sqrt{{{\left( {{\upsilon }_{1}}\cdot \frac{t}{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{\upsilon }_{2}}\cdot \frac{t}{2} \right)}^{2}}}}{t} \]
Ответ: 5,4 м/с

[Сергей]

В1.2 Пассажирский поезд, движущийся со скоростью, модуль которой υ₁ =54 км/ч, проходит мимо встречного товарного поезда длиной l₁ =300 м, идущего со скоростью, модуль которой υ₂ =36 км/ч, за время t₂ =20 с. Длина пассажирского поезда составляет ... км.
Решение.
Предположим, что товарный поезд не движется. Тогда пассажирский поезд проходит мимо него со скоростью

υ = υ₁ + υ₂

При этом пассажирский поезд проходит расстояние

L = l₁ + l₂

где l₂ – длина пассажирского поезда (см. рис).

L = υ·t; l₁ + l₂ = (υ₁ + υ₂)·t₂

l₂ = (υ₁ + υ₂)·t₂ - l₁

Ответ: 0,20 км

[Сергей]

В1.3 Координатах материальной точки изменяется по закону х = 2 – 4t (м).
Путь, пройденный точкой за время t = 5 с, отличается от модуля координаты точки в этот же момент времени на ... м.
Решение.
Кинематическое уравнение равномерного движения

х = х₀ + υ_x·t

где х₀ и х – координаты точки в начальный момент времени (t = 0) и в момент времени t. υ_х – проекция вектора скорости на координатную ось. Легко видеть, что

х₀ = 2 м; υ_х = - 4 м/с

Определим координату х в момент времени t = 5 с

х = 2 - 4·5 = -18 м

Пройденный путь S
\[ S=\left| x-{{x}_{0}} \right|=20 \]
Таким образом пройденный путь за t = 5 с и модуль координаты точки в этот же момент времени отличаются на 2 м
Ответ:2 м

[Сергей]

В1.4 Человек поднимается по неподвижному эскалатору за время t₁ = 3 мин, а по движущемуся вверх эскалатору — за t₂ =2 мин. По эскалатору, движущемуся с той же скоростью вниз, человек поднимется за ... мин.
Решение:
Во всех случаях человек перемещается на расстояние S. В первом случае

S = υ·t₁ (1)

Во втором

S = (υ + υ_e)·t₂ (2)

где (υ + υ_e)·- относительная скорость человека в системе отсчета связанной с Землей (υ_е – скорость эскалатора). Приравняем (1) и (2)

υ·t₁ = (υ + υ_e)·t₂

\[ {{\upsilon }_{e}}=\frac{\upsilon \cdot \left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}{{{t}_{2}}} \]
Когда человек будет подниматься по движущемуся вниз эскалатору, то его относительная скорость в системе отсчета связанной с Землей будет рана

υ₀ = υ - υ_e·

Тогда время подъема человека по движущемуся вниз эскалатору:
\[ \begin{align}
  & t=\frac{S}{{{\upsilon }_{0}}}=\frac{S}{\upsilon -{{\upsilon }_{e}}}=\frac{S}{\upsilon -\frac{\upsilon \cdot \left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}{{{t}_{2}}}}=\frac{S\cdot {{t}_{2}}}{\upsilon \cdot {{t}_{2}}-\upsilon \cdot \left( {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right)}=\frac{S\cdot {{t}_{2}}}{\upsilon \cdot \left( 2\cdot {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}; \\
 & \upsilon =\frac{S}{{{t}_{1}}} \\
 & t=\frac{S\cdot {{t}_{2}}\cdot {{t}_{1}}}{S\cdot \left( 2\cdot {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}=\frac{{{t}_{2}}\cdot {{t}_{1}}}{2\cdot {{t}_{2}}-{{t}_{1}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 6 мин

[Сергей]

В1.5 Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью, модуль которой υ₁ = 40 м/с, под углом к горизонту α = 10°. Если подует горизонтальной встречный ветер со скоростью, модуль которой υ₂ = 10 м/с, то модуль скорости самолета относительно земли составит ... м/с.
Решение:
Согласно условию скорость ветра υ₂ направлена горизонтально, а скорость самолета под углом к горизонту (см. рис). Воспользуемся законом сложения скоростей.
\[ \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{\vec{\upsilon }}_{2}} \]
Модуль скорости самолета относительно земли найдем из теоремы косинусов
 \[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+\upsilon _{2}^{2}-2\cdot {{\upsilon }_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}}\cdot \cos \alpha } \]
Ответ:30 м/с

[Сергей]

В1.6  Автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью, модуль которой υ₁ = 45,0 км/ч, в течение времени t₁ = 10,0 с прошел такой же. путь, какой автобус, двигающийся в том же направлении, прошел за t₂ = 15,0 с. Их модуль относительной скорости равен ... км/ч.
Решение.
Автомобиль и автобус двигались в одном направлении, тогда модуль их относительной скорости

υ = υ₁ – υ₂

где υ₁ и υ₂ скорости автомобиля и автобуса соответственно.
По условию пройденный путь одинаков
 \[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{1}}\cdot {{t}_{1}}={{\upsilon }_{2}}\cdot {{t}_{2}};\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot {{t}_{1}}}{{{t}_{2}}}; \\
 & \upsilon ={{\upsilon }_{1}}-\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot {{t}_{1}}}{{{t}_{2}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ: 15 км/ч

[Сергей]

В1.7  Из пункта А в пункт В с интервалом времени t₁ = 10 мин вышли два электропоезда со скоростью, модуль которой υ₁ = 30 км/ч. Если поезд, идущий из В в А, повстречал встречные электропоезда через t₂ = 4,0 мин один после другого, то модуль скорости поезда υ₂ составляет …км/ч
Решение.
Расстояние между двумя поездами вышедшими из пункта А будет

S = υ₁·t₁

Это расстояние движущийся им навстречу с относительной скоростью υ₀ поезд пройдет за время t_2. Тогда
 \[ \begin{align}
  & {{t}_{2}}=\frac{S}{{{\upsilon }_{0}}}=\frac{S}{{{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}};\, \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\frac{S-{{\upsilon }_{1}}\cdot {{t}_{2}}}{{{t}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot {{t}_{1}}-{{\upsilon }_{1}}\cdot {{t}_{2}}}{{{t}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot ({{t}_{1}}-{{t}_{2}})}{{{t}_{2}}} \\
\end{align}
 \]
Ответ:45 км/ч

[Сергей]

В1.8 При скорости ветра модуль которой υ₁ = 10 м/с, капли дождя падают под углом α₁ = 30° к вертикали. Под углом α₂ = 45° капли будут падать при скорости ветра, модуль которой равен…м/с
Решение.
Движение капли рассмотрим относительно двух систем отсчета: неподвижной, связанной с землей, и подвижной, связанной с ветром. По закону сложения скоростей
\[ \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{\vec{\upsilon }}_{k}} \]
Скорость капли υк направлена вертикально вниз, а скорость ветра υ1 будем считать направленной горизонтально. Сложение скоростей произведем по правилу параллелограмма (см.рис).
Из рисунка видно, что
\[ tg\alpha =\frac{{{\upsilon }_{1}}}{{{\upsilon }_{k}}} \]
Тогда
\[ \frac{tg{{\alpha }_{1}}}{tg{{\alpha }_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{1}}}{\upsilon _{1}^{'}};\,\,\,\upsilon _{1}^{'}=\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot tg{{\alpha }_{2}}}{tg{{\alpha }_{1}}} \]
Ответ: 17 м/с

[Сергей]

В1.9 График зависимости координаты х тела от времени t изображается прямой, проходящей через точки (0;6) и (3;0) (t в секундах, х в метрах). Проекция скорости υх тела на ось Ох составляет …м/с
Решение.
При равномерном прямолинейном движении  (график прямая линия) проекция скорости на координатную ось численно равна изменению координаты движущегося тела за единицу времени
\[ {{\upsilon }_{x}}=\frac{x-{{x}_{0}}}{t}=\frac{0-6}{3}=-2\frac{м}{с} \]
Ответ: - 2 м/с

[Сергей]

В1.10 Когда две лодки равномерно движутся навстречу друг другу одна по течению, а другая против течения реки, то расстояние между ними сокращается на l₁ = 30 м за каждые t = 10 с. Если же лодки с прежними по модулю скоростями будут двигаться по течению реки, то расстояние между ними за то же время будет увеличиваться на l₂ = 10 м. Модуль скорости более быстрой лодки равен…м/с
Решение.
Будем рассматривать движение лодок относительно воды. В этой системе отсчета скорости первой и второй лодок соответственно υ₁ и υ₂.
По условию
\[ {{\upsilon }_{1}}+{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{l}_{1}}}{t};\,\,\,{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{l}_{2}}}{t} \]
Решая эти уравнения совместно, получим υ₁ = 2 м/с, υ₂ = 1 м/с
Ответ: 2 м/с